Bài 2.35 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình logarit :

Giải các phương trình logarit :

a) ({log _2}({2^x} + 1).{log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2)

b) ({x^{log 9}} + {9^{log x}} = 6)

c) ({x^{3{{log }^3}x - frac{2}{3}log x}} = 100sqrt[3]{{10}})                                                          

d) (1 + 2{log _{x + 2}}5 = {log _5}(x + 2))

Hướng dẫn làm bài:

a) ({log _2}({2^x} + 1).{log _2}{ m{[}}2({2^x} + 1){ m{]}} = 2)

( Leftrightarrow {log _2}({2^x} + 1).{ m{[}}1 + {log _2}({2^x} + 1){ m{]}} = 2)

Đặt (t = {log _2}({2^x} + 1)) , ta có phương trình  

(t(1 + t) = 2 ⇔ {t^2} + t – 2 = 0)

(eqalign{& Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 1} cr {t = - 2} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{{{log }_2}({2^x} + 1) = 1} cr {{{log }_2}({2^x} + 1) = - 2} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{{2^x} + 1 = 2} cr {{2^x} + 1 = {1 over 4}} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{{2^x} = 1} cr {{2^x} = - {3 over 4}(l)} cr} } ight. Leftrightarrow x = 0 cr} )

b) Với điều kiện x > 0, ta có: (log ({x^{log 9}}) = log ({9^{log x}}))

(log ({x^{log 9}}) = log 9.log x)  và (log ({9^{log x}}) = log x.log 9)

Nên (log ({x^{log 9}}) = log ({9^{log x}}))   

Suy ra:

({t^4} + 14{t^2} - 32t + 17 = 0)

( Leftrightarrow {(t - 1)^2}({t^2} + 2t + 17) = 0 Leftrightarrow t = 1)  ({x^{log 9}} = {9^{log x}})

Đặt (t = {x^{log 9}})  , ta được phương trình (2t = 6 ⇔ t = 3 ⇔ {x^{log 9}} = 3) 

(eqalign{
& Leftrightarrow log ({x^{log 9}}) = log 3 cr
& Leftrightarrow log 9.log x = log 3 cr
& Leftrightarrow log x = {{log 3} over {log 9}} cr
& Leftrightarrow log x = {1 over 2} cr})

(Leftrightarrow x = sqrt {10} ) (thỏa mãn điều kiện x > 0)

c) Với điều kiện x > 0, lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:

    ((3{log ^3}x - frac{2}{3}log x).log x = frac{7}{3})               

Đặt (t = log x) , ta được phương trình (3{t^4} - frac{2}{3}{t^2} - frac{7}{3} = 0)

(eqalign{
& Leftrightarrow 9{t^4} - 2{t^2} - 7 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
{t^2} = 1 hfill cr
{t^2} = - {7 over 9}left( {loại} ight) hfill cr} ight.left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = - 1 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
log x = 1 hfill cr
log x = - 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 10 hfill cr
x = {1 over {10}} hfill cr} ight. cr} )

d) Đặt (t = {log _5}(x + 2)) với điều kiện (x + 2{ m{ }} > 0,,,x + 2 e 1) , ta có:

(eqalign{& 1 + {2 over t} = t Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0,t e 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{t = - 1} cr {t = 2} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{{{log }_5}(x + 2) = - 1} cr {{{log }_5}(x + 2) = 2} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x + 2 = {1 over 5}} cr {x + 2 = 25} cr} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = - {9 over 5}} cr {x = 23} cr} } ight.} ight. cr} )

Sachbaitap.com