Bài 2.30 trang 66 sách bài tập – Hình học 12: Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông...
Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.. Bài 2.30 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học ...
Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Hướng dẫn làm bài:
a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I. Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp. Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có (d ot (ABCD)) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Ta có MI // SA nên (MI ot (ABCD)) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d tại O’. Vì (d’ ot (SAC)) tại M nên ta có O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có (r = O’C = sqrt {OO{‘^2} + O{C^2}} = sqrt {M{I^2} + r{‘^2}})
( = sqrt {{{({h over 2})}^2} + r{‘^2}} = {{sqrt {{h^2} + 4r{‘^2}} } over 2})
Vì SA không đổi nên ta có VSABCD lớn nhất khi và chỉ khi SABCD lớn nhất. Ta có ({S_{ABCD}} = {1 over 2}AC.BD) trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau. Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’ , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.
