Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:...

Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (y = 2{sin ^2}x + 2sin x – 1)

b) (y = {cos ^2}2x – sin xcos x + 4)

Giải

a) Đặt (t = sin x, – 1 le t le 1)

(y = fleft( t ight) = 2{t^2} + 2t – 1)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = fleft( t ight)) trên đoạn (left[ { – 1;1} ight]). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (mathbb R).

(f’left( t ight) = 4t + 2;f’left( t ight) = 0 Leftrightarrow t =  – {1 over 2})

Ta có: (fleft( { – 1} ight) =  – 1;fleft( { – {1 over 2}} ight) =  – {3 over 2};fleft( 1 ight) = 3)

(mathop {min ,,fleft( t ight)}limits_{t in left[ { – 1;1} ight]}  =  – {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,fleft( t ight)}limits_{t in left[ { – 1;1} ight]}  = 3)

Vậy (mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  =  – {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  = 3).

b) Ta có: (y = 1 – {sin ^2}2x – {1 over 2}sin 2x + 4 =  – {sin ^2}2x – {1 over 2}sin 2x + 5)

Đặt (t = sin 2x, – 1 le t le 1)

(y = fleft( t ight) =  – {t^2} – {1 over 2}t + 5;f’left( t ight) =  – 2t – {1 over 2};f’left( t ight) = 0 Leftrightarrow t =  – {1 over 4} in left[ { – 1;1} ight])

Ta có: (fleft( { – 1} ight) = {9 over 2};fleft( { – {1 over 4}} ight) = {{81} over {16}};fleft( 1 ight) = {7 over 2})

(mathop {min ,,fleft( t ight)}limits_{t in left[ { – 1;1} ight]}  = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,fleft( t ight)}limits_{t in left[ { – 1;1} ight]}  = {{81} over {16}})

Vậy (mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}}  = {{81} over {16}}).