Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:...

Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {x^2} + 2x – 5) trên đoạn (left[ { – 2;3} ight]);

b) (fleft( x ight) = {{{x^3}} over 3} + 2{x^2} + 3x – 4) trên đoạn (left[ { – 4;0} ight]);

c) (fleft( x ight) = x + {1 over x}) trên đoạn (left( {0; + infty } ight));

d) (fleft( x ight) =  – {x^2} + 2x + 4) trên đoạn (left[ {2;4} ight]);

e) (fleft( x ight) = {{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}}) trên đoạn (left[ {0;1} ight]);

f) (fleft( x ight) = x – {1 over x}) trên đoạn (left( {0;2} ight]);

Giải

a) (D = left[ { – 2;3} ight];f’left( x ight) = 2x + 2;f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow  x=- 1 in left[ { – 2;3} ight])

Ta có: (fleft( { – 2} ight) =  – 5;fleft( { – 1} ight) =  – 6;fleft( 3 ight) = 10).

Vậy: (mathop {min ,fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 2;3} ight]}  =  – 6;,,,,,,mathop {max ,fleft( x ight) = 10}limits_{x in left[ { – 2;3} ight]} ).

b)

(D = left[ { – 4;0} ight];,f’left( x ight) = {x^2} + 4x + 3;f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 in left[ { – 4;0} ight] hfill cr
x = – 3 in left[ { – 4;0} ight] hfill cr} ight.)

Ta có: (fleft( { – 4} ight) =  – {{16} over 3};fleft( { – 1} ight) =  – {{16} over 3};fleft( { – 3} ight) =  – 4;fleft( 0 ight) =  – 4)

Vậy (mathop {min ,fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 4;0} ight]}  =  – {{16} over 3};,,mathop {max ,fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 4;0} ight]}  =  – 4).

c) (D = left( {0; + infty } ight);f’left( x ight) = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}})với mọi (x e 0,f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x =  pm 1)

(x=1in left{ {0; + infty } ight.))

(x=-1 otin left{ {0; + infty } ight.))

(mathop {min ,,fleft( x ight) = fleft( 1 ight)}limits_{x in left( {0; + infty } ight)}  = 2). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (left( {0; + infty } ight)).

d) (D = left[ {2;4} ight];f’left( x ight) =  – 2x + 2;f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x = 1 otin left[ {2;4} ight])

Ta có: (fleft( 2 ight) = 4;fleft( 4 ight) =  – 4)

Vậy (mathop {min ,fleft( x ight)}limits_{x in left[ {2;4} ight]}  =  – 4;,) (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ {2;4} ight]}  = 4).

e)

(D = left[ {0;1} ight];f’left( x ight) = {{2{x^2} + 8x + 6} over {{{left( {x + 2} ight)}^2}}};f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 otin left[ {0;1} ight] hfill cr
x = – 3 otin left[ {0;1} ight] hfill cr} ight.)

Ta có: (fleft( 0 ight) = 2;fleft( 1 ight) = {{11} over 3})

Vậy (mathop {min ,fleft( x ight)}limits_{x in left[ {0;1} ight]}  = 2;) (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ {0;1} ight]}  = {{11} over 3})

f) (D = left( {0;2} ight];f’left( x ight) = 1 + {1 over {{x^2}}} > 0) với mọi (x in left( {0;2} ight];fleft( 2 ight) = {3 over 2})

(mathop {,max fleft( x ight)}limits_{x in left[ {0;2} ight]}  = {3 over 2}) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên (left( {0;2} ight]).