Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Bài 21. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {x over {{x^2} + 1}};)                    b) (fleft( x ight) = {{{x^3}} over {x + 1}};)

c) (fleft( x ight) = sqrt {5 – {x^2}} ;)              d) (fleft( x ight) = x + sqrt {{x^2} – 1} ).

Giải

a) TXĐ: (D = {mathbb{R}})

(f’left( x ight) = {{{x^2} + 1 – 2{x^2}} over {{{left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}} = {{1 – {x^2}} over {{{left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}};f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,,,,,fleft( 1 ight) = {1 over 2} hfill cr
x = – 1,,,fleft( { – 1} ight) = – {1 over 2} hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=-1), giá trị cực tiểu (fleft( { – 1} ight) =  – {1 over 2}). Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=1), giá trị cực đại (fleft( 1 ight) = {1 over 2}).

b) TXĐ: (D = {mathbb {R}}ackslash left{ { – 1} ight})

(eqalign{
& f’left( x ight) = {{3{x^2}left( {x + 1} ight) – {x^3}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} cr
& f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow {x^2}left( {2x + 3} ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = – {3 over 2} hfill cr} ight. cr
& fleft( { – {3 over 2}} ight) = {{27} over 4} cr} )

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  – {3 over 2}), giá trị cực tiểu (fleft( { – {3 over 2}} ight) = {{27} over 4}).

c) TXĐ: (D = left[ { – sqrt 5 ;sqrt 5 } ight])

(f’left( x ight) = {{ – 2x} over {2sqrt {5 – {x^2}} }} = {{ – x} over {sqrt {5 – {x^2}} }};f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x = 0;fleft( 0 ight) = sqrt 5 )

Hàm số đạt cực đại tại (x=0), giá trị cực đại (fleft( 0 ight) = sqrt 5 ).

d) (fleft( x ight)) xác định khi và chỉ khi ({x^2} – 1 ge 0) ( Leftrightarrow x le  – 1)hoặc (x ge 1).

TXĐ: (D = left( { – infty ; – 1} ight] cup left[ {1; + infty } ight))

(f’left( x ight) = 1 + {x over {sqrt {{x^2} – 1} }} = {{sqrt {{x^2} – 1}  + x} over {sqrt {{x^2} – 1} }}) 

(f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow sqrt {{x^2} – 1} = – x Leftrightarrow left{ matrix{
x le 0 hfill cr
{x^2} – 1 = {x^2} hfill cr} ight.) vô nghiệm

(f’left( { – 2} ight) < 0 Rightarrow f’left( x ight) < 0) với mọi (x <  – 1)

(f’left( { – 2} ight) > 0 Rightarrow f’left( x ight) > 2) với mọi (x > 1)

Hàm số nghịch biến trên (left( { – infty ; – 1} ight]) và đồng biến trên (left[ {1; + infty } ight)).

Hàm số không có cực trị.