Bài 10 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R

Bài 10. Cho hai điểm (M, N) nằm trên đường tròn đường kính (AB = 2R). Gọi (I) là giao điểm của hai đường thẳng (AM, BN).

a) Chứng minh rằng (overrightarrow {AM} .overrightarrow {AI}  = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AI} ,,;,,overrightarrow {BN} .overrightarrow {BI}  = overrightarrow {BA} .overrightarrow {BI}.)

b) Tính (overrightarrow {AM} .overrightarrow {AI}  + ,,overrightarrow {BN} .overrightarrow {BI} ) theo (R).

Hướng dẫn trả lời

 

a) Ta có (overrightarrow {AM} .,overrightarrow {AI}  = (overrightarrow {AB}  + overrightarrow {BM} ).,overrightarrow {AI}  = overrightarrow {AB} .,overrightarrow {AI}  + overrightarrow {BM} .,overrightarrow {AI}  = overrightarrow {AB} .,overrightarrow {AI} ) ( vì (overrightarrow {BM} .,overrightarrow {AI}  = 0) ).

Tương tự, (overrightarrow {BN} .,overrightarrow {BI}  = (overrightarrow {BA}  + ,overrightarrow {AN} ).,overrightarrow {BI}  = overrightarrow {BA} .,overrightarrow {BI}  + overrightarrow {AN} .,overrightarrow {BI}  = overrightarrow {BA} .,overrightarrow {BI} ) ( vì (overrightarrow {AN} .,overrightarrow {BI}  = 0) ).

b)  Theo câu a), (overrightarrow {AM} .overrightarrow {AI}  + overrightarrow {BN} .overrightarrow {BI}  = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AI} , + overrightarrow {BA} .overrightarrow {BI} )

( = overrightarrow {AB} (overrightarrow {AI}  - overrightarrow {BI} ) = overrightarrow {AB} .,overrightarrow {AB}  = A{B^2} = 4{R^2}.)

zaidap.com