Bài 7 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng

Bài 7. Cho bốn điểm bất kì (A, B, C, D). Chứng minh rằng

(overrightarrow {DA} .overrightarrow {BC}  + overrightarrow {DB} .overrightarrow {CA}  + overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB}  = 0).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

Hướng dẫn trả lời

 

Ta có

(eqalign{
& ,,,,overrightarrow {DA} .overrightarrow {BC} + overrightarrow {DB} .overrightarrow {CA} + overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB} cr
& = overrightarrow {DA} (overrightarrow {DC} - overrightarrow {DB} ) + overrightarrow {DB} (overrightarrow {DA} - overrightarrow {DC} ) + overrightarrow {DC} (overrightarrow {DB} - overrightarrow {DA} ) cr
& = overrightarrow {DA} overrightarrow {DC} - overrightarrow {DA} overrightarrow {DB} + overrightarrow {DB} overrightarrow {DA} - overrightarrow {DB} overrightarrow {DC} + overrightarrow {DC} overrightarrow {DB} - overrightarrow {DC} overrightarrow {DA} = 0 cr} )

Gọi (D) là giao điểm của hai đường cao (AA', BB') của tam giác (ABC).

Ta có (overrightarrow {DA} .overrightarrow {BC}  = 0,;,,overrightarrow {DB} .overrightarrow {CA}  = 0)                 

Từ đó suy ra (overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB}  = 0), do đó (DC ot AB). Vậy (D) nằm trên đường cao (CC') của tam giác (ABC), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.

zaidap.com