Bài 10 trang 215 SBT Đại số và giải tích 11: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành...

Cho hàm số

(fleft( x ight) = {x^3} + b{x^2} + cx + d) ;    (C)

(gleft( x ight) = {x^2} – 3x – 1.)

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm (left( {1;3} ight),left( { – 1; – 3} ight)) và (f’left( {{1 over 3}} ight) = {5 over 3}) ;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ ({x_0} = 1) ;

c) Giải phương trình (f’left( {sin t} ight) = 3) ;

d) Giải phương trình (f”left( {cos t} ight) = g’left( {sin t} ight)) ;

e) Tìm giới hạn (mathop {lim }limits_{z o 0} {{f”left( {sin 5z} ight) + 2} over {g’left( {sin 3z} ight) + 3}}.)

Giải :

a)

(eqalign{
& c = 2,b = – 1,d = 1 cr
& Rightarrow fleft( x ight) = {x^3} – {x^2} + 2x + 1{ m{ }}; cr} )

b) (f’left( x ight) = 3{x^2} – 2x + 2 Rightarrow f’left( 1 ight) = 3.)

Phương trình tiếp tuyến tại (Mleft( {1;3} ight)) là

(y – 3 = 3left( {x – 1} ight)) hay (y = 3x.)

c)

(eqalign{
& f’left( {sin t} ight) = 3{sin ^2}t – 2sin t + 2. cr
& f’left( {sin t} ight) = 3 cr
& Leftrightarrow 3{sin ^2}t – 2sin t – 1 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin t = 1 hfill cr
sin t = – {1 over 3} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = {pi over 2} + k2pi hfill cr
t = arcsin left( { – {1 over 3}} ight) + k2pi hfill cr
t = pi – arcsin left( { – {1 over 3}} ight) + k2pi hfill cr} ight.left( {k in Z} ight). cr} )

d)

(eqalign{
& f”left( x ight) = 6x – 2 cr
& Rightarrow f”left( {cos t} ight) = 6cos t – 2 cr} ) ;

(eqalign{
& g’left( x ight) = 2x – 3 cr
& Rightarrow g’left( {sin t} ight) = 2sin t – 3. cr} )

Vậy

(eqalign{
& 6cos t – 2 = 2sin t – 3 cr
& Leftrightarrow 2sin t – 6cos t = 1 cr
& Leftrightarrow sin t – 3cos t = {1 over 2}. cr} )

Đặt ( an varphi  = 3,) ta được

(sin left( {t – varphi } ight) = {1 over 2}cos varphi  = alpha .) Suy ra 

(left[ matrix{
t = varphi + arcsin alpha + k2pi hfill cr
t = pi + varphi – arcsin alpha + k2pi { m{ }}left( {k in Z} ight). hfill cr} ight.)

e)

(mathop {lim }limits_{z o 0} {{f”left( {sin 5z} ight) + 2} over {g’left( {sin 3z} ight) + 3}} = mathop {lim }limits_{z o 0} {{6sin 5z} over {2sin 3z}} = 5mathop {lim }limits_{z o 0} {{{{sin 5z} over {5z}}} over {{{sin 3z} over {3z}}}} = 5.)