Bài 1.4 trang 12 SBT Hình học 11 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình...

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình ({x^2} + {y^2} – 2x + 4y – 4 = 0). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = left( { – 2;5} ight)).

Giải:

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm (Ileft( {1; – 2} ight)), bán kính (r = 3).Gọi (I’ = {T_{overrightarrow v }}left( I ight) = left( {1 – 2; – 2 + 5} ight) = left( { – 1;3} ight)) và (C’) là ảnh của (C) qua ({T_{overrightarrow v }}) thì (C’) là đường tròn tâm (I’) bán kính (r = 3). Do đó (C’) có phương trình:

({left( {x + 1} ight)^2} + {left( {y – 3} ight)^2} = 9)

Cách 2.  Biểu thức tọa độ của ({T_{overrightarrow v }}) là

(left{ matrix{
x’ = x – 2 hfill cr
y’ = y + 5 hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
x = x’ + 2 hfill cr
y = y’ – 5 hfill cr} ight.)

Thay vào phương trình của (C) ta được

(eqalign{
& {left( {x’ + 2} ight)^2} + {left( {y’ – 5} ight)^2} – 2left( {x’ + 2} ight) + 4left( {y’ – 5} ight) – 4 = 0 cr
& Leftrightarrow x{‘^2} + y{‘^2} + 2x’ – 6y’ + 1 = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {x’ + 1} ight)^2} + {left( {y’ – 3} ight)^2} = 9 cr} )

Do đó (C’) có phương trình ({left( {x + 1} ight)^2} + {left( {y – 3} ight)^2} = 9)