Bài 1 trang 82 sách đại số và giải tích 11

Bài 1 trang 82 sách đại số và giải tích 11

Bài 1. Chứng minh rằng

Bài 1. Chứng minh rằng với (n in {mathbb N}^*), ta có đẳng thức:

a) (2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =frac{n(3n+1)}{2});

b) ( frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+...+frac{1}{2^{n}}=frac{2^{n}-1}{2^{n}});

c) ({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}= frac{n(n+1)(2n+1)}{6})

Hướng dẫn giải

a) Với (n = 1), vế trái chỉ có một số hạng là (2), vế phải bằng ( frac{1.(3.1+1)}{2} = 2) 

Vậy hệ thức a) đúng với (n = 1).

Đặt vế trái bằng  (S_n)

Giả sử đẳng thức a) đúng với (n = k ≥ 1), tức là 

 (S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =  frac{k(3k+1)}{2})

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với (n = k + 1), nghĩa là phải chứng minh

(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =   frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2})

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: ({S_{k + 1}} = { m{ }}{S_k} + { m{ }}3k{ m{ }} + { m{ }}2) = ( frac{k(3k+1)}{2} + 3k + 2)

= ( frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}) ( =frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2}=frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}) (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi (n in {mathbb N}^*)

b) Với (n = 1), vế trái bằng ( frac{1}{2}), vế phải bằng ( frac{1}{2}), do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng (S_n)_.

Giả sử hệ thức b) đúng với (n = k ≥ 1), tức là ( S_{k}=frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+...+frac{1}{2^{k}}=frac{2^{k}-1}{2^{k}})

Ta phải chứng minh ( S_{k+1}=frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: ( S_{k+1}=S_{k}+frac{1}{2^{k+1}}=frac{2^{k}-1}{2^{k}}+frac{1}{2^{k+1}})

          (= frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}) (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi (n in {mathbb N}^*)

c) Với (n = 1), vế trái bằng (1), vế phải bằng ( frac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1) nên hệ thức c) đúng với (n = 1).

Đặt vế trái bằng (S_n)_.

Giả sử hệ thức c) đúng với (n = k  ≥ 1), tức là

(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}=frac{k(k+1)(2k+1)}{6})

Ta phải chứng minh ( S_{k+1}=frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6})

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

({S_{k + 1}} = { m{ }}{S_k} + { m{ }}{left( {k{ m{ }} + { m{ }}1} ight)^2}) =  ( frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2})(= (k + 1).frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}  = (k + 1)frac{2k^{2}+k+6k+6}{6})       

( =frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}) (đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  (n in {mathbb N}^*).

soanbailop6.com