Bài 1.49 trang 36 Sách bài tập Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m =...

Cho hàm số:  y = 4x³ + mx              (m là tham số)       (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) (y = 4{x^3} + x,y’ = 12{x^2} + 1 > 0,forall x in R)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x₀; y₀) thì (f'({x_0}) = 12x_0^2 + 1 = 13) (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x  + 1). Từ đó ta có: ({x_0} =  pm 1)

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là (y = 13x pm 8)

c) Vì  y’ = 12x² + m nên : (m ge 0:y” =  – 6({m^2} + 5m)x + 12m)

+) Với (m ge 0) ta có y’ > 0 (khi m = 0 ; y’ = 0 tại x = 0).

     Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi  (m ge 0:y” =  – 6({m^2} + 5m)x + 12m)

+) Với m < 0 thì (y{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow  x =  pm sqrt {{{ – m} over {12}}} )

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với ( – infty  < x <  – sqrt {{{ – m} over {12}}} ) và (sqrt {{{ – m} over {12}}}  < x <  + infty )

y’ < 0  với ( – sqrt {{{ – m} over {12}}}  < x < sqrt {{{ – m} over {12}}} )

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng (( – infty ; – sqrt {{{ – m} over {12}}} ),(sqrt {{{ – m} over {12}}} ; + infty )) và nghịch biến trên khoảng (( – sqrt {{{ – m} over {12}}} ;sqrt {{{ – m} over {12}}} ))