Bài 1.33 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh...

Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN.

Giải:

Giả sử đã dựng được hai điểm M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài. Đường thẳng qua M và song song với AC cắt BC tại D. Khi đó tứ giác MNCD là hình bình hành. Do đó CN = DM. Từ đó suy ra tam giác AMD cân tại M. Do đó (widehat {MA{ m{D}}} = widehat {M{ m{D}}A} = widehat {DAC}). Suy ra AD là phân giác trong của góc A. Do đó AD dựng được .Ta lại có (overrightarrow {NM}  = overrightarrow {C{ m{D}}} ), nên có thể xem M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow {DC} ).

Từ đó suy ra cách dựng:

–  Dựng đường phân giác trong của góc A. Đường này cắt BC tại D.

– Dựng đường thẳng d là ảnh của đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow {C{ m{D}}} ). d cắt AB tại M.

–  Dựng N sao cho (overrightarrow {NM}  = overrightarrow {C{ m{D}}} ).

Khi đó dễ thấy M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài.