Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số sau không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Chứng minh rằng hàm số: 

(f(x) = left{ matrix{
- 2x,forall x ge 0 hfill cr
sin {x over 2},forall x < 0 hfill cr} ight.)                                    

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số:

(f(x) = left{ matrix{
- 2x,forall x ge 0 hfill cr 
sin {x over 2},forall x < 0 hfill cr} ight.)         

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{f(x) - f(0)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{ - 2x} over x} = - 2 cr
& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{f(x) - f(0)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{ - 2x} over x} = - 2 cr} )            

Mặt khác, với  x < 0  thì (y' = {1 over 2}cos {x over 2}) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

 

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.

Sachbaitap.com