Bài 1.12 trang 22 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d có phương trình (3x - y + 9 = 0) và đường tròn (C) có phương trình: ({x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 6 = 0) 

Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

a)  Phép đối xứng qua gốc tọa độ;

b)  Phép đối xứng qua tâm I.

Giải:

a)  Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

(M' = left( {2; - 3} ight)), phương trình của (d':3{ m{x}} - y - 9 = 0), phương trình của đường tròn (left( {C'} ight):{x^2} + {y^2} - 2{ m{x}} + 6y + 6 = 0)

b)  Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên (M' = left( {4;1} ight))

Vì d' song song với d nên d' có phương trình (3{ m{x}} - y + C = 0). Lấy một điểm trên d, chẳng hạn (Nleft( {0;9} ight)). Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là (N'left( {2; - 5} ight)). Vì N' thuộc d nên ta có (3.2 - left( { - 5} ight) + C = 0). Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là (3{ m{x}} - y - 11 = 0).

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm (Jleft( { - 1;3} ight)), bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là (J'left( {3;1} ight)). Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là ({left( {x - 3} ight)^2} + {left( {y - 1} ight)^2} = 4).