Câu 32 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và (DA ot mpleft( {ABC} ight),AB = AC = a,BC = {6 over 5}a). Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuông góc với MD (H thuộc đường thẳng MD).

a) Chứng minh rằng (AH ot mpleft( {BC{ m{D}}} ight)).

b) Cho (A{ m{D}} = {4 over 5}a). Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

c) Gọi G₁, G₂ lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng ({G_1}{G_2} ot mpleft( {ABC} ight)).

Trả lời

 

a) Vì M là  trung điểm của BC nên (AM ot BC), mặt khác (DA ot left( {ABC} ight)) nên BC vuông góc với mp(DAM), từ đó (BC ot AH).

Mà (DM ot AH).

Vậy (AH ot mpleft( {DBC} ight)).

b) Kẻ MN song song với AC (N ∈ AB) thì góc giữa DM và AC bằng góc giữa DM và MN, đó là (widehat {DMN}) hoặc ({180^0} - widehat {DMN}).

Ta có:

(eqalign{  & MN = {1 over 2}AC = {a over 2},AN = {a over 2}.  cr  & D{N^2} = D{A^2} + A{N^2} = {{16} over {25}}{a^2} + {{{a^2}} over 4} = {{89} over {100}}{a^2}  cr  & A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {{9{{ m{a}}^2}} over {25}} = {{16{{ m{a}}^2}} over {25}}  cr  &  Rightarrow AM = {{4{ m{a}}} over 5}. cr} )

Mặt khác (A{ m{D}} = {{4{ m{a}}} over 5}) do đó (DM = {{4{ m{a}}sqrt 2 } over 5}).

(eqalign{  & D{N^2} = D{M^2} + M{N^2} - 2{ m{D}}M.MNcos widehat {DMN}  cr  & {{89} over {100}}{a^2} = {{2.16{a^2}} over {25}} + {{{a^2}} over 4} - 2.{{4asqrt 2 } over 5}.{a over 2}cos widehat {DMN}  cr  &  = {{153{a^2}} over {100}} - {{4{a^2}sqrt 2 } over 5}cos widehat {DMN}  cr  &  Rightarrow {{4{a^2}sqrt 2 } over 5}cos widehat {DMN} = {{64{a^2}} over {100}}  cr  &  Rightarrow cos widehat {DMN} = {{2sqrt 2 } over 5}. cr} ).

Vậy góc giữa AC và DM là α mà (cos alpha  = {{2sqrt 2 } over 5}) .

c) Dễ thấy G₁G₂ // DA mà DA ⊥ (ABC) nên ({G_1}{G_2} ot left( {ABC} ight)).

Sachbaitap.com