Câu 40 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc ∆, (M ≢ A), gọi K là trực tâm của tam giác MBC và ∆₁ là đường thẳng đi qua K và vuông góc với mặt phẳng (MBC). Chứng minh rằng:

a) ∆₁ đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên ∆.

b) ∆₁ cắt ∆ tại điểm N và BM vuông góc với CN, CM vuông góc với BN. Xác định vị trí điểm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất.

Trả lời

 

a) Gọi I là trung điểm của BC thì (AI ot BC,MI ot BC). Vậy K thuộc MI. Ta cũng có (BC ot left( {MAI} ight)). Do ∆₁ đi qua K và ({Delta _1} ot left( {MBC} ight)) nên ({Delta _1} ot BC). Vậy ∆₁ nằm trong mp(MAI). Gọi giao điểm của ∆₁ với AI là H thì (HK ot MC), mặt khác (BK ot MC), từ đó MC vuông góc với (BHK) hay (MC ot BH).

Từ (Delta  ot left( {ABC} ight),,BH ot MC) nên (BH ot AC).

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Điều này chứng tỏ khi M thay đổi trên (Delta) thì (Delta_1) đi qua điểm cố định là trực tâm H của tam giác ABC.

b) Vì ∆₁ là đường thăngt HK nên ∆₁ cắt ∆_­ tại điểm N.

Theo câu a), ta có MC vuông góc với (BHK) mà BN thuộc mặt phẳng này, vậy NB vuông góc với MC.

Tương tự như trên, ta cũng có (MB ot NC)

Từ  ∆AHN đồng dạng ∆AMI, ta có ({{AH} over {AM}} = {{AN} over {AI}} Rightarrow AH.AI = AM.AN)

Mặt khác (AH.AI = {{asqrt 3 } over 3}.{{asqrt 3 } over 2} = {{{a^2}} over 2}) .

do đó (AM.AN = {{{a^2}} over 2})

Ta có: MN = AM + AN

Vậy MN ngắn nhất khi và chỉ khi (AM = AN = {{asqrt 2 } over 2}).

Hệ thức này xác định điểm M để MN có độ dài ngắn nhất.

Sachbaitap.com