Bài 7 trang 44 sách sgk giải tích 12

Bài 7 trang 44 sách sgk giải tích 12

Cho hàm số

Bài 7. Cho hàm số y = (frac{1}{4}x^{4}+frac{1}{2}x^{2}+m).

         a) Với giá trị nào của tham số (m), đồ thị của hàm số đi qua điểm ((-1 ; 1)) ?

         b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số khi (m = 1).

         c) Viết phương trình tiếp tuyến của ((C)) tại điểm có tung độ bằng (frac{7}{4}).

Hướng dẫn giải:

a) Điểm ((-1 ; 1)) thuộc đồ thị của hàm số (⇔1=frac{1}{4}(-1)^{4}+frac{1}{2}(-1)^{2}+mLeftrightarrow m=frac{1}{4}).

b) (m = 1) (Rightarrow y=frac{1}{4}x^{4}+frac{1}{2}x^{2}+1) .

Tập xác định:(mathbb R).

* Sự biến thiên:

(y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1); y' = 0 ⇔ x = 0).

- Hàm số đồng biến trên khoảng ((0;+infty)), nghịch biến trên khoảng ((-infty;0))

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=1)

- Giới hạn: 

   (eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x o - infty } = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x o + infty } = + infty cr} )

- Bảng biến thiên:

        

* Đồ thị 

Đồ thị hàm số giao trục (0y) tại điểm ((0;1)).

 c) (frac{1}{4}x^{4}+frac{1}{2}x^{2}+1=frac{7}{4}Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}-3=0Leftrightarrow x^{2}=1Leftrightarrow x=pm 1.)Vậy hai điểm thuộc ((C)) có tung độ (frac{7}{4}) là (A(1 ; frac{7}{4})) và (B(-1 ; frac{7}{4})). Ta có (y'(-1) = -2, y'(1) = 2).

Phương trình tiếp tuyến với ((C)) tại (A) là: (y - frac{7}{4}= y'(1)(x - 1) ⇔ y = 2x -frac{1}{4})

Phương trình tiếp tuyến với ((C)) tại (B) là : (y - frac{7}{4}= y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x - frac{1}{4}).

soanbailop6.com