Bài 5 trang 18 sách sgk giải tích 12

Bài 5 trang 18 sách sgk giải tích 12

Tìm a và b để các cực trị của hàm số:

Bài 5. Tìm (a) và (b) để các cực trị của hàm số

(y=frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b)

đều là những số dương và (x_{0}=-frac{5}{9}) là điểm cực đại.

Giải:

- Xét (a = 0) hàm số trở thành (y = -9x + b). Trường hợp này hàm số không có cực trị.

- Xét (a e 0). Ta có : (y{ m{ }} = { m{ }}5{a^2}{x^2} + { m{ }}4ax{ m{ }}-{ m{ }}9); (y’= 0 )(⇔ x=-frac{1}{a}) hoặc (x=-frac{9}{5a})

- Với (a < 0) ta có bảng biến thiên :

 

Theo giả thiết (x_{0}=-frac{5}{9}) là điểm cực đại nên (frac{1}{a}=-frac{5}{9}Leftrightarrow a=frac{9}{5}). Theo yêu cầu bài toán thì

(y_{(CT)}=yleft ( -frac{9}{5a} ight )=y(1)>0)

(Leftrightarrow frac{5}{3}cdot left ( -frac{9}{5} ight )^{2}+2cdot left ( -frac{9}{5} ight )-9+b>0Leftrightarrow b>frac{36}{5}.)

- Với (a > 0) ta có bảng biến thiên :

Vì (x_{0}=-frac{5}{9})  là điểm cực đại nên (-frac{9}{5a}=-frac{5}{9}Leftrightarrow a=frac{81}{25}). Theo yêu cầu bài toán thì: (y_{(ct)}=yleft ( frac{1}{a} ight )=yleft ( frac{25}{81} ight )>0)

(Leftrightarrow frac{5}{3}cdot left ( frac{81}{25} ight )^{2}left ( frac{25}{81} ight )^{3}+2.frac{81}{25}cdot left ( frac{25}{81} ight )^{2}-9cdot frac{25}{81}+b>0)

(Leftrightarrow b>frac{400}{243}.)

Vậy các giá trị (a, b) cần tìm là: 

(left{egin{matrix} a=-frac{9}{5} & b>frac{36}{5} & end{matrix} ight.) hoặc (left{egin{matrix} a=frac{81}{25} & b>frac{400}{243} & end{matrix} ight.).

soanbailop6.com