Trường hợp các ,nút nội suy không cách đều

Tỷ hiệu

Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng:

X	x0 x1 x2 x3 … xi xn
Y	y0 y1 y2 y3 … yi yn

Trong đó y_i = f(x_i), i = 0,1,2,…và ∆x_i = x _i+1 - x_i ≠ 0 (i = 0,1,2,…) không bằng nhau.

Tỷ số:

f[x_i,x_i+1] = (f(x_i+1) – f(x_i))/(x_i+1-x_i) = (y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i),(i = 0,1,2,…)

gọi là tỷ hiệu cấp một của hàm số f(x).

Tổng quát,tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận đượctừ tỷ hiệu cấp n- 1 của hàm f(x) nhờ công thức truy hồi:

f[x i ,x i+1 ,…,x i+n ] = (f[x i ,x i+1 ,…,x i+n ]- f[x i ,x i+1 ])/( x i+n – x i )

(n = 1,2,3,…; i = 0,1,2,3,…) (1.2)

Giả sử trên [ a,b] cho n+1 giá trị khác nhau của đối số:x₀,x₁,…x_n

(các giá trị x_i không cách đều )và biết đối với hàm số y = f(x)

những giá trị tương ứng : y_i = f(x_i); i = 0,1,2,…

Bây giờ ta xây dựng đa thức nội suy Pn (x_i), bậc không cao hơn n

thỏa mãn điều kiện:

Pn (x_i) = y_i, i = 0,1,2,…

Theo cách của Newton như sau:

Theo định nghĩa, tỷ hiệu cấp một của hàm số(x):

f[x,x₀] = (f(x) – y₀)/(x - x₀)

Do đó:

f(x) = y₀ + (x – x₀)f[x,x₀] (1.3)

Dùng định nghĩa tỷ hiệu cấp 2 của hàm số f(x) ta có:

f[x,x₀,x₁] = (f[x,x₀,x₁]- f[x,x₀])/( x – x₁ )

và:

f[x,x₀] = f[x₀,x₁] + ( x – x₁ )f[x,x₀,x₁]

Thay vào (1.3) ta nhận được:

f(x) = y₀ + (x – x₀)f[x₀,x₁] + (x - x₀) ( x – x₁ ) f[x,x₀,x₁]

tiếp tục quá trình trên, ta có:

f(x) = y₀ + (x – x₀)f[x₀,x₁] + (x - x₀) ( x – x₁ ) f[x₀,x₁,x₂] +

+ (x - x₀) ( x – x₁ )… ( x – x_n-1 ) f[x₀,x₁,…,x_n] +

+ (x - x₀) ( x – x₁ )… ( x – x_n-1 ) ( x – x_n ) f[x,x₀,…,x_n] (1.4)

Vế phải của (1.4), bỏ đi số hạng cuốilà một đa thức bậc không cao hơn n:

Pn (x) ) = y 0 + (x – x 0 )f[x 0 ,x 1 ] + (x - x 0 ) ( x – x 1 ) f[x 0 ,x 1 ,x 2 ] +

+ (x - x 0 ) ( x – x 1 )… ( x – x n-1 ) f[x 0 ,x 1 ,…,x n ] (1.5)

Do đó (1.4) có thể viết dưới dạng:

f(x) = Pn (x) + Rn (x)

Với

Rn (x) = (x - x₀) ( x – x₁ )… ( x – x_n-1 ) ( x – x_n ) f[x,x₀,…,x_n]

Rễ thấy rằng: Rn (x) = 0; i = 0,1,2,…, và:

f(x) = Pn (x) + Rn (x) = Pn (x); i = 0,1,2,…

Đa thức (1.5) gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x₀ của hàm số f(x). Hàm Rn (x) là sai số nội suy:

Bằng cách làm tương tự, ta xây dựng được đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút x_n của hàm số f(x):

Pn (x) ) = y 0 + (x – x n )f[x n ,x n-1 ] + (x – x n ) ( x – x n-1 ) f[x n ,x n-1 ,x n-2 ] +

+ (x – x n )( x – x n-1 )… ( x – x 1 ) f[x n ,x n-1 ,…,x 0 ] (1.6)

Với sai số nội suy:

Rn (x) = (x – x_n)( x – x_n-1 )… ( x – x₁ )( x – x₁ )f[x,x₀,…,x_n]