tính ổn định của hệ thống tự động

Nếu một hệ thống điều chỉnh sau khi bị nhiễu ngoài phá mất trạng thái cân bằng mà có thể phục hồi trạng thái cân bằng cũ hoặc tiến dần đến trạng thái cân bằng mới thì hệ thống đó gọi là hệ thống ổn định.

Ví dụ:

Nếu sau khi bị can nhiễu mà hệ thống không thể lập lại cân bằng, mức độ mất cân bằng ngày càng lớn thì hệ thống như vậy gọi là hệ thống không ổn định.

Nếu sau khi bị can nhiễu hệ thống không thể đạt tới trạng thái cân bằng ổn định, mà truyền động theo chu kỳ ổn định thì gọi là hệ thống nằm trên biên giới ổn định.

Xét tính ổn định của nó thì ta phải đánh giá chuyển động của nó sau khi vất nhiễu (chuyển động tự do).

Giả sử phương trình vi phân của hệ thống có dạng:

* Khảo sát một số dạng nghiệm của phương trình đặc tính

Giả sử có hệ thống mà tính chất động của nó được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính có phương trình đặc tính dạng:

Ta lập định thức D_n=1 từ các hệ số a₁ . . . . a_n-1 , a_n

- Trên đường chéo chính là các hệ số được lập như bên.

- Còn các cột còn lại phía trên đường chéo chính thì giảm dần còn phía dưới thì tăng dần. Định thức này gọi là định thức Hurwitz chính.

- Nếu ta bỏ đi một hàng cuối và cột cuối thì ta được định thức con D_n-2 & và tiếp tục ta có các định thức D_{n-3 . . . .} D₂ và D₁.

Phát biểu tiêu chuẩn : Điều kiện cần và đủ để cho một hệ thống tự động tuyến tính ổn định là các hệ số trong phương trình đặc tính và các định thức đường chéo lập từ các hệ số trên phải dương

Ví dụ 1: Giả sử có hệ thống tự động mà phương trình đặc tính có dạng:

P⁴ + 5P³ + 3P² +2P + 0,003 = 0

Ta đã có a_{1 . . .} a₄ > 0

Lập định thức chính:

Hệ thống ổn định.

Ví dụ 2: Giả sử có hệ thống tự động mà phương trình đặc tính có dạng:

.

Hệ thống không ổn định.

Tiêu chuẩn đại số Hurwitz cho phép xác định một cách nhanh chóng tính ổn định tuyệt đối của hệ thống khi biết trước phương trình đặc tính với hệ số thực. Nếu như có ít nhất một hệ số của phương trình đặc tính là số phức hoặc phương trình không có dạng đại số mà là dạng hàm mũ hoặc hàm sin thì tiêu chuẩn Hurwitz dạng đơn giản không áp dụng trực tiếp được.

Một giới hạn nữa của tiêu chuẩn Hurwitz là không đánh giá được đặc tính chất lượng của hệ thống và không đề xuất được phương án cải tiến hoặc hiệu chỉnh hệ thống.

Vào năm 1938 khi nghiên cứu về nguyên lý góc quay Muxauob, nhà bác học người Nga đã đưa ra tiêu chuẩn đánh giá ổn định hệ thống tự động dựa trên việc xét một đường cong gọi là đường cong Muxauob.

Giả sử hệ thống tự động có phương trình đặc tính:

a_n Pⁿ + . . . . + a₁ P + a_o = 0

Thay P = iω ⇒ M (iω) = a_n(iω)ⁿ + . . . . + a₁ (iω) + a_o = 0

⇒ M (iω) = U (ω) + i V(ω) = R(ω).e^i(ω)

U (ω) - Có toàn bộ số hạng có mũ chẵn (phần thực)

V(ω) - Có toàn bộ số hạng có mũ lẻ (phần ảo)

R(ω) và (ω) - Là môđun và argumen của véc tơ M(iω)

Trên mặt phẳng phức, M (iω) là một véc tơ và gọi là véc tơ Muxauob, khi ω = 0  ∞ thì mũi véc tơ vẽ nên đường cong Muxauob trên mặt phẳng phức (Véc tơ quay chiều ngược kim đồng hồ).

Phát biểu tiêu chuẩn: Điều kiện cần và đủ để cho một hệ thống tự động tuyến tính ổn định là đường cong Muxauob phải lần lượt đi qua n góc vuông của mặt phẳng phức theo chiều ngược kim đồng hồ . Khi ω thay đổi từ 0 ∞ .

Trong đó n là bậc phương trình đặc tính của hệ thống nếu đường cong Muxau  ob đi tắt qua góc tọa độ và sang góc vuông khác thì hệ thống nằm trên biên giới ổn định.

Ta có thể thấy rằng đối với hệ thống ổn định thì tất cả các hệ số của phương trình đặc tính dương (a i >0) nên đường cong Muxau  ob luôn có xu hướng xuất phát từ phần dương trục thực ( ω = 0) . Ngoài ra đối với hệ ổn định mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng thì  ( ω ) là hàm đơn điệu tăng đối với ω nên đường cong Muxau  ob của hệ ổn định có dạng xoáy trôn ốc mở ra.

Do hai tiêu chuẩn trên phải dựa theo phương trình đặc tính và tính toán khó khăn khi số bậc n cao, mặt khác trong thực tế ta khó mà tìm được dạng phương trình vi phân, để khắc phục ta phải sử dụng tiêu chuẩn Nyquist khi biết được đặc tính tần số biên độ pha của hệ hở.

Vậy muốn sử dụng tiêu chuẩn Nyquist thì phải biết đặc tính tần số biên độ pha của hệ hở.

Phát biểu tiêu chuẩn:

 Điều kiện cần và đủ để cho một hệ thống tự động kín tuyến tính ổn định nếu hệ hở ổn định là đặc tính tần số biên độ pha của hệ hở không được bao điểm có tọa độ ( -1; io ) khi ω thay đổi từ 0  + ∞ .

 Điều kiện cần và đủ để hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định là đặc tính TBF của hệ hở phải bao (-1 ; io) l /2 lần theo chiều ngược kim đồng hồ khi ω thay đổi từ 0  + ∞ trong đó l là số nghiệm thực dương hoặc số nghiệm phức có phần thực dương của phương trình đặc tính của hệ hở.

+ Trong một số trường hợp xét ω = - ∞  + ∞ thì phải bao l lần điểm (-1;io).

+ Nếu hệ thống có một khâu tích phân thì hệ thống nằm trên biên giới ổn định.

Nếu đường DTBF đã đi qua điểm (-1;io) thì hệ thống nằm trên biên giới ổn định.

Thường trong thực tế chúng ta có hai bài toán:

- Bài toán phân tích: Xét có ổn định hay không.

- Bài toán tổng hợp: Xác định để hệ thống ổn định.

Trình tự giải một bài toán tổng hợp như sau:

- Đầu tiên phải lập phương trình đặc tính mà trong đó dùng các chữ cái biểu thị các thông số chưa biết.

- Chọn tiêu chuẩn ổn định để sử dụng và viết được điều kiện để cho hệ thống ổn định theo tiêu chuẩn đã chọn.

- Kết hợp các điều kiện thì ta tìm được giá trị của thông số đó để cho hệ thống ổn định.

Trong trường hợp gặp nhiều thông số chưa biết thì bài toán trên giải một cách dễ dàng bằng cách xây dựng các vùng ổn định của hệ thống ⇒ phải xây dựng đường biên giới ổn định ⇒ áp dụng các tiêu chuẩn (với dấu đẳng thức).

Ví dụ:

Qui ước đánh gạch chéo về phía vùng ổn định và cuối cùng những vùng nào nằm trong lòng tất cả các phía đều có gạch chéo thì vùng đó ổn định.

⇒ Vùng A là vùng ổn định của hệ thống

Đối với tiêu chuẩn khác thì cũng làm lần lượt như vậy tuy có khó khăn hơn, nhất là tiêu chuẩn Nyquist.

Trong thực tế do độ sai lệch khi gia công cũng như lúc vận hành nên khi chọn thì ta cần phải cho chúng độ dự trữ ổn định nào đó.

Đanh giá tính chất định lượng khoảng cách, giá trị của thông số điều chỉnh hoặc đặc tính của hệ thống tới vùng nguy hiểm xét theo quan điểm ổn định

Ví dụ: h , r - độ dự trữ ổn định của hệ thống

- Thời gian điều chỉnh t_đc càng ngắn càng tốt.

- Độ sai lệch dư càng nhỏ càng tốt.

- Trong điều chỉnh quá trình nhiệt ta thường đưa ra 1 số chỉ tiêu sau:

Nhằm giảm nhẹ trong quá trình tính toán bộ điều chỉnh, người ta đưa ra 3 quá trình quá độ tối ưu điển hình sau đây:

Khi chọn bộ điều chỉnh ta thường xuất phát từ các quan điểm sau đây:

-Cố gắng chọn qui luật nào đơn giản nhất mà vẫn đảm bảo chất lượng yêu cầu.

-Bộ điều chỉnh P có thể sử dụng trên những đối tượng có đặc tính động xấu và khi cho phép độ sai lệch tĩnh có giá trị lớn (Δφ_dư lớn).

-Bộ điều chỉnh I có thể sử dụng trong Itrường hợp khi cho phép thời gian điều chỉnh lớn và không thể sử dụng để điều chỉnh các đối tượng không có tự cân bằng và có chậm trễ vì quá trình điều chỉnh có thể không ổn định.

-Bộ điều chỉnh P - I có thể sử dụng ứng với bất kỳ yêu cầu nào nếu thời gian điều chỉnh cho phép > 6 T (T- thời gian chậm trễ); thông dụng trong thực tê.

-Bộ điều chỉnh PID sử dụng trong trường hợp khi cần đạt thời gian điều chỉnh trong khoảng từ 4  6 T.

Khi chọn cụ thể thì ta cần phải dùng các phương pháp tính toán khác nữa, phổ biến nhất là phương pháp đồ thị giải tích.

Phương pháp đồ thị giải tích:

Điều kiện cần biết: Các đặc tính động của đối tượng T ; T_đt ; K_đt

Giá trị lớn nhất có thể được của tác động điều chỉnh thường biểu diễn dưới dạng % độ mở của van điều chỉnh.

Yêu cầu đối với chất lượng của quá trình điều chỉnh: φ_1max ; σ ; t_đ/c . Δφ_dư

Bước 2: Tính chọn (giới hạn với nhóm tác động liên tục)

1- Tính hệ số động R_đ

2- Chọn quá trình quá độ tối ưu:

Chọn 1 trong 3 quá trình tối ưu điển hình

Bước 3: Chọn qui luật điều chỉnh:

Dùng đồ thị cho sẵn trong các sổ tay kỹ thuật cho các quá trình tối ưu

Bước 4: Kiểm tra có đảm bảo thời gian điều chỉnh yêu cầu không ?

Ta dựa vào các đồ thị cho săn ở các tài liệu ứng với từng quá trình:

Khi đã có ta dóng lên bộ điều chỉnh rồi dóng qua ⇒ tự điều chỉnh, nếu chưa thỏa mãn thì phải chọn bộ điều chỉnh phức tạp hơn.

Bước 5: Khi chọn P và PD thì phải kiểm tra Δφ dư

Nếu Δφ dư > giá trị cho trước thì phải chọn PI hoặc PID

Bước 6: Chọn tốc độ của cơ cấu chấp hành

- Tất cả bộ điều chỉnh (trừ loại I) thì tốc độ cơ cấu chấp hành không hạn chế (tốc độ càng nhanh càng tốt) và không được nhỏ hơn tốc độ thay đổi của nhiễu

- Đối với bộ I: Ta có

⇒ Tốc độ nằm trong tương quan xác định với K_I

⇒ Tốc độ đó là một thông số điều chỉnh nên không thể chọn bất kỳ được mà xác định bởi yêu cầu và chất lượng của quá trình điều chỉnh.