Sai số nội suy
Với x∈[a,b] ta ước lựong sai số f(x) – L n (x), trong đó x cho trước. Đặt ω n (t) = (t-x 0 ) (t-x 1 ) ..(t-x n ) Rõ ràng nếu x không bằng mốc nội suy thì ω n (x)≠ 0, nên tìm được hằng số k để: ...
Với x∈[a,b] ta ước lựong sai số f(x) – Ln(x), trong đó x cho trước.
Đặt ωn(t) = (t-x0) (t-x1) ..(t-xn)
Rõ ràng nếu x không bằng mốc nội suy thì ωn(x)≠ 0, nên tìm được hằng số k để:
f(x) – Ln(x) = k ωn(x) (2.7)
Xét hàm số:
F(t) = f(t) - Ln(t)-k.ωn(t) (2.8)
Hàm này có n+2 nghiệm phân biệt t=xi (i=0;n) và t=x; Bằng phương pháp quy nạp chúng ta có thể chứng minh được rằng tồn tại điểm c ∈[a,b] sao cho F(n+1) (c)=0. Vì Ln là đa thức bậc n nên có thể tính đạo hàm cấp (n+1) biểu thức (2.8). Ta có:
F(n+1)(c) = f(n+1) (c) – 0 – k (n+1) =0
Vậy k=f(n+1)(c)(n+1)! size 12{k= { {f rSup { size 8{ ( n+1 ) } } ( c ) } over { ( n+1 ) !} } } {}. Thay giá trị của k vào (2.7) ta được:
f(x)−Ln(x)=f(n+1)(c)ωn(x)(n+1)! size 12{f ( x ) ` - L rSub { size 8{n} } ( x ) `=`f rSup { size 8{ ( n+1 ) } } ( c ) ` { {ω rSub { size 8{n} } ( x ) } over { ( n+1 ) !} } } {} (2.9)
Điểm c thay đổi khi x thay đổi. Nếu đạo hàm cấp (n+1) của f bị chặn: |f(n+1)(x)| ≤M với ∀x ∈[a,b] thì ta có ước lượng sai số nội suy là:
∣ f ( x ) − L n ( x ) ∣ ≤ M ( n + 1 ) ! ∣ ω n ( x ) ∣ size 12{ lline `f ( x ) ` - `L rSub { size 8{n} } ( x ) ` lline <= ` { {M} over { ( n+1 ) !} } ` lline `ω rSub { size 8{n} } ( x ) lline } {}
trên đây được gọi là đa thức nội suy Lagrange.
Ta xét trường hợp đặc biệt khi các mốc nội suy cách nhau một đoạn bằng nhau:
Δxi= xi+1 – xi = h = (b-a) /n (với i=0; n-1)
Dùng phép đổi biến (x – x0)/h = t, các đa thức Lnk(x) size 12{L rSub { size 8{n} } rSup { size 8{k} } ` ( x ) `} {}sẽ là các đa thức theo t và chỉ phụ thuộc vào số mốc n và có nhiều cách biểu diễn đơn giản, dễ sử dụng hơn.
