Quan sát ảnh 3 chiều

Các phép chiếu song song

Các hình ảnh được hình thành bằng phép chiếu song song có thể được xác định dựa vào góc hợp bởi hướng của phép chiếu hợp với mặt phẳng chiếu. Khi hướng của phép chiếu vuông góc với mặt phẳng, ta có phép chiếu trực giao (hay phép chiếu vuông góc - orthographic projection). Một phép chiếu có thể không vuông góc với mặt phẳng chiếu được gọi là phép chiếu xiên (oblique projection).

Các phép chiếu trực giao hầu như được dùng để tạo ra quang cảnh nhìn từ phía trước, bên sườn, và trên đỉnh của đối tượng (xem hình 4). Quang cảnh phía trước, bên sườn, và phía sau của đối tượng được gọi là “mặt chiếu” (elevation), và quang cảnh phía trên được gọi là “mặt phẳng” (plane). Các bản vẽ trong kỹ thuật thường dùng các phép chiếu trực giao này, vì các chiều dài và góc miêu tả chính xác và có thể đo được từ bản vẽ.

Chúng ta cũng có thể xây dựng các phép chiếu trực giao để có thể quan sát nhiều hơn một mặt của một đối tượng. Các quang cảnh như thế được gọi là các phép chiếu trực giao trục lượng học (axonometric orthographic projection). Hầu hết phép chiếu trục lượng học được dùng là phép chiếu cùng kích thước (isometric projection). Một phép chiếu cùng kích thước được thực hiện bằng việc sắp xếp song song mặt phẳng chiếu mà nó cắt mỗi trục tọa độ ở nơi đối tượng được định nghĩa (được gọi là các trục chính) ở các khoảng cách như nhau từ ảnh gốc. Hình 5 trình bày phép chiếu cùng kích thước. Có tám vị trí, một trong tám mặt, đều có kích thước bằng nhau. Tất cả ba trục chính được vẽ thu gọn bằng nhau trong phép chiếu cùng kích thước để kích thước liên hệ của các đối tượng được bảo tồn. Đây không là trường hợp phép chiếu trực giao trục lượng học tổng quát, khi mà các hệ số tỷ lệ theo ba trục chính có thể khác nhau.

Các phương trình biến đổi để thực hiện một phép chiếu song song trực giao thì dễ hiểu. Đối với điểm bất kỳ (x, y, z), điểm chiếu (x_p, y_p, x_p) trên bề mặt chiếu được tính như sau:

x_p = x, y_p = y, z_p = 0 (1)

Phép chiếu cùng kích thước của một đối tượng lên bề mặt quan sát

Một phép chiếu xiên đạt được bằng việc chiếu các điểm theo các đường thẳng song song, các đường thẳng này không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Hình 6 trình bày hình chiếu xiên của điểm (x, y, z) theo một đường thẳng chiếu đến vị trí (xp, yp). Các tọa độ chiếu trực giao trên mặt phẳng chiếu là (x, y). Đường thẳng của phép chiếu xiên tạo một góc ∅ với đường thẳng trên mặt phẳng chiếu (đây là đường nối điểm (xp, yp) với điểm (x, y)). Đường này, có chiều dài L, hợp một góc ∅ với phương ngang trên mặt phẳng chiếu. Chúng ta có thể diễn tả các tọa độ chiếu qua các số hạng x, y, L, và ∅:

xp = x + L cos∅ (2)

yp = y + L sin∅

Phép chiếu vuông góc của điểm (x, y, z) thành điểm (xp, yp) lên mặt phẳng chiếu

Phương chiếu có thể định nghĩa bằng việc chọn các giá trị cho góc ∅ và α. Các chọn lựa thông thường cho góc ∅ là 30o và 45o, là các góc hiển thị một quang cảnh của mặt trước, bên sườn, và trên đỉnh (hoặc mặt trước, bên sườn, và dưới đáy) của một đối tượng. Chiều dài L là một hàm của tọa dộ z, và chúng ta có thể tính tham số này từ các thành phần liên quan.

tanα= z L 1 L1 (3)

ở đây L1 là chiều dài của các đường chiếu từ (x, y) đến (x_p, y_p) khi z = 1.

Từ phương trình (3), chúng ta có

L = z L1 (4)

và các phương trình của phép chiếu xiên (2) có thể được viết lại như sau:

xp = x + z(L1 cos∅) (5)

yp = y + z(L1 sin∅)

Ma trận biến đổi để tạo ra bất kỳ việc chiếu song song có thể được viết như sau

M_parallel= 1 0 0 0 0 0 0 0 L1cosφ L1sinφ 0 0 0 0 0 1 (6)

Một phép chiếu trực giao có thể đạt được khi L1 = 0 (xảy ra ở góc chiếu α=90o). Các phép chiếu xiên được sinh ra với giá trị L1 khác không. Ma trận chiếu 6 có cấu trúc tương tự ma trận của phép làm biến dạng theo trục z. Thực tế, kết quả của ma trận chiếu này là làm biến dạng mặt phẳng của hằng z và chiếu chúng lên mặt phẳng quan sát. Các giá trị tọa độ x và y trong mỗi mặt của hằng z bị thay đổi bởi một hệ số tỷ lệ đến giá trị z của mặt phẳng để các góc, các khoảng cách, và các đường song song trong mặt phẳng được chiếu chính xác. Hiệu quả này được thể hiện trong hình 7, ở đây mặt sau của hình hộp bị biến dạng và bị nằm đè bởi mặt trước trong phép chiếu đến bề mặt quan sát. Một cạnh của hình hộp, cái nối mặt trước với mặt sau, được chiếu thành đoạn chiều dài L1, cái hợp thành một góc ∅ với đường ngang trong mặt phẳng chiếu.

Phép chiếu xiên của một hình hộp lên bề mặt quan sát tại mặt

Hai góc được dùng phổ biến trong phép chiếu xiên là các góc có tg∅ =1 và tg∅=2. Trường hợp đầu, ∅ = 45o và quang cảnh đạt được được gọi là phép chiếu cavalier. Tất cả các đường vuông góc v ới mặt phẳng chiếu được chiếu với chiều dài không thay đổi. Các ví dụ của phép chiếu cavalier đối với một hình lập phương được cho trong hình 8.

Phép chiếu cavalier của một hình lập phương lên bề mặt chiếu với hai giá trị góc ∅. Độ sâu của phép chiếu bằng với chiều rộng và chiều cao.

Khi góc chiếu đuợc chọn để tg∅ = 2, kết quả quang cảnh được gọi là phép chiếu cabinet. Góc phép chiếu này xấp xỉ 63.4o làm cho các đường chiếu vuông góc với bề mặt chiếu được chiếu ở một nữa chiều dài của chúng.

Các phép chiếu cabinet cho hình ảnh thực hơn phép chiếu cavalier vì sự thu giảm chiều dài của các đường song song. Hình 9 trình bày phép chiếu cabinet cho hình lập phương.

Phép chiếu cabinet của một hình lập phương lên bề mặt chiếu với hai giá trị góc ∅. Độ sâu của phép chiếu bằng 1/2 chiều rộng và chiều cao

Các phép chiếu phối cảnh

Để đạt được phép chiếu phối cảnh của đối tượng ba chiều, chúng ta chiếu các điểm theo đường thẳng chiếu để các đường này gặp nhau ở tâm chiếu. Trong hình 10, tâm chiếu trên trục z và có giá trị âm, cách một khoảng d phía sau mặt phẳng chiếu. Bất kỳ điểm nào cũng có thể được chọn làm tâm của phép chiếu, tuy nhiên việc chọn một điểm dọc theo trục z sẽ làm đơn giản việc tính toán trong các phương trình biến đổi.

Chúng ta có thể đạt được các phương trình biến đổi cho phép chiếu phối cảnh từ các phương trình tham số mô tả các đường chiếu từ điểm P đến tâm chiếu (xem hình 10). Các tham số xây dựng các đường chiếu này là

x’ = x – xu

y’ = y – yu (7)

z’ = z - (z + d)u

Tham số u lấy giá trị từ 0 đến 1, và các tọa độ (x’, y’, z’) thể hiện cho bất kỳ điểm nào dọc theo đường thẳng chiếu. Khi u = 0, phương trình (7) làm cho điểm P ở tọa độ (x, y, z). Ở đầu mút kia của đường thẳng u =1, và chúng ta có các tọa độ của tâm chiếu,(0, 0, d). Để thu được các tọa độ trên mặt phẳng chiếu, chúng ta đặt z’ = 0 và tìm ra tham số u:

u= z z d (8)

Giá trị của tham số u tạo ra giao điểm của đường chiếu với mặt phẳng chiếu tại (x_p, y_p, 0). Thế phương trình 8 vào phương trình 7, ta thu được các phương trình biến đổi của phép chiếu phối cảnh.

(9)

z_p = 0

Dùng biểu diễn hệ tọa độ thuần nhất ba chiều (three-dimentional homogeneous coordinate representation), chúng ta có thể viết phép biến đổi phối cảnh theo hình thức ma trận:

[x_hy_hz_hw]=[xyz1] 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 d 0 0 0 1 (10)

Trong biểu diễn này:

w= z d + 1 (11)

và các tọa độ chiếu trên mặdt phẳng chiếu được tính từ các tọa độ thuần nhất như sau

[x_p y_p z_p 1] = [x_h/w y_h/w z_h/w 1] (12)

Khi các đối tượng ba chiều đựợc chiếu lên một mặt phẳng dùng các phương trình biến đổi phối cảnh, bất kỳ tập hợp các đường thẳng song song nào của đối tượng mà không song song với mặt phẳng chiếu được chiếu thành các đường hội tụ (đồng quy). Các đường thẳng song song với mặt phẳng khi chiếu sẽ tạo ra các đường song song. Điểm mà tại đó tập hợp các đường thẳng song song được chiếu xuất hiện hội tụ về đó được gọi là điểm ảo (vanishing point). Mỗi tập hợp các đường thẳng song song được chiếu như thế sẽ có một điểm ảo riêng (xem hình 11).

Các quang cảnh phối cảnh của một hình lập phương.

Điểm ảo cho bất kỳ tập các đường thẳng, tức các đường song song với một trong các trục tọa độ thế giới thực được nói đến như một điểm ảo chính (principal vanishing point). Chúng ta quản lý số lượng các điểm ảo chính (một, hai, hoặc ba) với hướng của mặt phẳng chiếu, và các phép chiếu phối cảnh được phân loại dựa vào đó để có các phép chiếu: một-điểm (one-point), hai-điểm (two-point), hoặc ba-điểm (three-point). Số lượng các điểm ảo chính trong một phép chiếu được xác định bởi số lượng các trục của hệ tọa độ thế giới thực cắt mặt phẳng chiếu. Hình 11 minh họa hình ảnh của các phép chiếu phối cảnh một-điểm và hai-điểm của hình lập phương. Trong hình 11(b), mặt phẳng chiếu có phương song song với mặt xy để chỉ có trục z bị cắt. Phương này tạo ra phép chiếu phối cảnh một-điểm với một điểm ảo trên trục z. Với quang cảnh trong hình 11(c), mặt phẳng chiếu cắt cả hai trục x và z nhưng không cắt trục y. Kết quả, phép chiếu phối cảnh hai-điểm này chứa cả hai điểm ảo: trên trục x và trên trục z.

Xác định mặt phẳng quan sát

Người dùng chỉ định rõ cách nhìn cụ thể cảnh bằng việc định nghĩa một mặt phẳng quan sát (view plane). Mặt phẳng quan sát là bề mặt để ta chiếu quang cảnh của một đối tượng lên đó. Chúng ta có thể nghĩ về nó như film trong một camera, cái được bố trí và được định hướng để đặt các bức ảnh được yêu cầu vào. Mặt phẳng quan sát được xây dựng bằng việc định rõ hệ quan sát (view coordinate system), như được trình bày trong hình 12. Các vị trí trên hệ tọa độ thế giới thực sẽ được định nghĩa lại và diễn tả mối liên hệ tương ứng đến hệ tọa độ này.

Để xây dựng các hệ quan sát, người sử dụng chọn một vị trí trên hệ tọa độ thế giới thực để dùng nó như điểm quan sát (view reference point). Đây sẽ là gốc của hệ quan sát. Hướng của mặt phẳng quan sát được định nghĩa bằng việc xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng quan sát (view plane normal vector), N. Vector này xây dựng hướng cho trục z dương của hệ quan sát. Một vector dựng đứng V, được gọi là vector nhìn lên (view up vector), được dùng để định nghĩa hướng cho trục y dương. Hình 13 minh họa hướng của hệ quan sát, ở đó mặt phẳng quan sát là mặt xy.

Hệ quan sát với các trục xv, yv, và zv. Mô tả đối tượng trong tọa độ thế giới thực được chuyển sang hệ tọa độ quan sát.

Điểm quan sát và các vector N, V và hướng của hệ tọa độ quan sát

Hướng của mặt phẳng quan sát để xác định các tọa độ vector pháp tuyến. Vị trí (-1, 0, 0) định hướng mặt phẳng quan sát trong (a), trong khi đó vị trí (-1, -1, 0) cho hướng trong (b).

Vector pháp tuyến của mặt phẳng quan sát N có thể được xây dựng bằng việc xác định một vị trí tọa độ liên hệ với gốc tọa độ thế giới thực. Việc làm này định nghĩa hướng của vector pháp tuyến như đường thẳng từ gốc (của tọa độ thế giới thực) đến vị trí tọa độ được chỉ định (gốc hệ quan sát). Hình 15 cho hai hướng của mặt phẳng quan sát để các tọa độ vector pháp tuyến được xác định. Vector V có thể được xác định theo cách tương tự. Người sử dụng thường khó khăn để xác định chính xác hai vector vuông góc này, vì vậy một vài gói đồ họa thay đổi cách xác định vector V của người dùng. Như được thể hiện trong hình 15, V được chiếu đến vị trí để vuông gốc với pháp vector.

Thay đổi sự xác định theo lý thuyết của vector V đến vị trí vuông góc với vector N.

Đôi khi vector thứ ba U, được dùng để chỉ rõ hướng x của hệ quan sát. Hệ quan sát sau đó có thể được mô tả như hệ uvn, và mặt phẳng quan sát được gọi là mặt uv. Chúng ta giả thuyết rằng vị trị x theo hướng như ở hình 16. Hướng của U và V trong bức ảnh này thì không đổi so với hướng chuẩn của trục x và y trên thiết bị hiển thị. Chúng ta có thể nghĩ về mặt phẳng quan sát trong hệ quan sát này như một thiết bị logic (logical device) làm cơ sở cho việc hiển thị ảnh.

Hệ uvn định nghĩa các hướng cho các trục của một hệ quan sát bàn tay trái.

Dù là hệ tọa độ bàn tay trái (xem hình 16) hay hệ tọa độ bàn tay phải (xem hình 17) đều có thể được dùng làm hệ quan sát. Trong các thảo luận sau này, chúng ta sẽ dùng hệ tọa độ bàn tay trái, vì nó trực quan hơn một chút. Các đối tượng xa hơn từ người quan sát có các giá trị theo trục z lớn. Tuy nhiên, hệ tọa độ bàn tay phải thường được dùng, vì nó có hướng tương tụ như hệ tọa độ thế giới thực. Do đó, sự biến đổi giữa hai hệ này được làm đơn giản.

Một hệ tọa độ quan sát bàn tay phải với các vector U, V, và N.

Trong việc xây dựng mặt phẳng quan sát, vài vùng đồ họa sử dụng các tham số bổ sung được gọi là khoảng cách quan sát. Mặt phẳng quan sát được định nghĩa như mặt phẳng song song với mặt phẳng xy, cái nằm ở một khoảng cách xác định từ điểm quan sát. Đối với thảo luận của ta, chúng ta giả thuyết rằng mặt phẳng quan sát là mặt xy ở gốc tọa độ của hệ quan sát. Điều này cho phép chúng ta chiếu lên mặt z = 0.

Để tạo ra một quang cảnh từ một điểm quan sát thuận lợi do người dùng chọn, các vị trí được định nghĩa liên hệ với gốc của hệ tọa độ thế giới thực phải được định nghĩa lại liên hệ với gốc của hệ quan sát. Tức là, chúng ta phải biến đổi các tọa độ từ hệ tọa độ thế giới thực sang hệ tọa độ quan sát. Sự biến đổi này được thực hiện bằng một dãy biến đổi tuần tự của phép tịnh tiến và phép quay để ánh xạ các trục của hệ tọa độ quan sát lên trên các trục của hệ tọa độ thế giới thực. Khi được áp dụng đến định nghĩa hệ tọa độ thế giới thực của các đối tượng trong ảnh, dãy biến đổi tuần tự này biến đổi chúng đến vị trí mới trong hệ tọa độ quan sát. Ma trận biểu diễn dãy biến đổi tuần tự này có thể được thu được bằng việc kết hợp các ma trận biến đổi như sau (xem hình 18):

• Phản chiếu liên hệ đến mặt xy, đảo ngược dấu mỗi tọa độ z. Điều này thay đổi hệ quan sát bàn tay trái thành hệ quan sát bàn tay phải.
• Tịnh tiến điểm quán sát đến gốc của hệ tọa độ thế giới thực.
• Quay quanh trục tọa độ thế giới thực x để mang trục tọa độ quan sát z vào mặt phẳng xz của hệ tọa độ thế giới thực.
• Quay quanh trục tọa độ thế giới thực y cho đến khi trục z của cả hai hệ trùng nhau.
• Quay quanh trục tọa độ thế giới thực z để trục y của hệ quan sát và hệ thế giới thực trùng nhau.

Dãy các phép biến đổi để đưa các trục của hệ quan sát trùng với các trục của hệ thế giới thực.

Kết quả của mỗi phép biến đổi trên được thể hiện trong hình 18. Dãy tuần tự các biến đổi này có nhiều điểm chung với dãy các biến đổi để quay một đối tượng xung quanh một trục bất kỳ, và các thành phần của ma trận quan sát có thể được xác định bằng cách dùng các kỹ thuật tương tự kỹ thuật quay quanh một trục bất kỳ. Đối với các gói dùng hệ quan sát bàn tay phải, phép nghịch đảo giá trị z ở bước 1 là không cần thiết.

Không gian quan sát

Trong camera tương tự (analogy), kiểu len được dùng trên camera là yếu tố quyết định bao nhiêu cảnh được bắt trên film. Một len góc rộng (wide-angle len) giữ nhiều cảnh hơn len bình thường (regular len). Trong quan sát ba chiều, một cửa sổ chiếu được dùng với hiệu quả tương tự. Cửa sổ được định nghĩa bằng các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và y trên mặt quan sát (xem hình 19). Hệ quan sát được dùng để tạo ra giới hạn của cửa sổ, cái có thể xuất hiện ở bất kỳ đâu trên mặt phẳng quan sát.

Sự xác định cửa sổ trên mặt phẳng chiếu, tọa độ điểm thấp nhất và cao nhất được cho trong hệ quan sát

Cứa sổ chiếu được dùng để định nghĩa một không quan sát (view volume). Chỉ những đối tượng nằm trong không quan sát mới được chiếu và hiển thị lên mặt phẳng chiếu. Hình dạng chính xác của không quan sát dựa vào kiểu phép chiếu được yêu cầu bởi nguời dùng. Trong bất kỳ trường hợp nào, bốn mặt của không gian quan sát đi xuyên qua các cạnh của cửa sổ. Với phép chiếu song song, bốn mặt của không gian quan sát này hình thành một hình hộp không giới hạn (xem hình 20). Một hình chóp bị cắt cụt (hình kim tự tháp), với đỉnh nằm ở tâm chiếu (xem hình 6-21), được dùng như không gian quan sát cho phép chiếu phối cảnh. Hình chóp bị cắt cụt này được gọi là một hình cụt (frustum).

Không gian quan sát cho phép chiếu song song. Không gian quan sát cho phép chiếu phối cảnh.

Vài vùng đồ họa giới hạn tọa độ của tâm chiếu là các vị trí dọc theo trục z của hệ quan sát. Chúng ta cần một tiếp cận tổng quát hơn là cho phép tâm chiếu được đặt ở bất kỳ vị trí nào trong hệ quan sát. Hình 22 trình bày hai hướng của không gian quan sát hình chóp liên hệ với các trục quan sát. Trong hình 22 (b), không điểm nào chiếu đến mặt phẳng quan sát, vì tâm chiếu và các đối tượng được quan sát thì ở cùng phía với mặt quan sát. Trong trường hợp này, không có cái gì nào được hiển thị.

Hai vị trí tâm chiếu của không gian quan sát trong phép chiếu phối cảnh.

Trong các phép chiếu song song, hướng của phép chiếu định nghĩa hướng của không gian quan sát. Bằng cách cho một vị trí liên hệ đến gốc hệ quan sát, người dùng định nghĩa được một vector xác định hướng của không gian quan sát liên hệ với mặt phẳng quan sát. Hình 23 trình bày hình dạng của các không gian quan sát cho cả hai: phép chiếu song song trực giao và phép chiếu song song xiên.

Các không gian quan sát cho các phép chiếu song song xiên và trực giao, được quan sát tại mặt xz.

Thông thường, một hoặc hai mặt phẳng bổ sung được dùng để định nghĩa rõ hơn không gian quan sát. Gồm một mặt gần (near plane) và một mặt xa (far plane) tạo ra không gian quan sát có giới hạn, được bao quanh bởi sáu mặt phẳng, (xem hình 24). Các mặt gần và xa thì luôn song song với mặt phẳng quan sát, và chúng được xác định bởi các khoảng cách với mặt phẳng quan sát trong hệ quan sát. Các tên lần lượt cho các mặt gần và mặt xa là các mặt ở đây, ở đằng kia hay các mặt ở phía trước, phía sau.

Với các mặt phẳng này, người dùng có thể loại bỏ một số phần của cảnh khi thực hiện quan sát dựa trên độ sâu của chúng. Đây là một ý tưởng độc đáo khi dùng đến phép chiếu phối cảnh. Các đối tượng ở rất xa mặt phẳng quan sát khi chiếu đến có thể chỉ còn là một điểm đơn. Các đối tượng ở rất gần có thể che khuất các đối tượng khác mà người dùng muốn xem. Hoặc, khi được chiếu, các đối tượng ở gần có thể lớn đến nổi mà chúng nó vượt quá các biên cửa sổ và không thể được nhận ra.

Clipping

Một thuật toán clipping ba chiều xác định và lưu giữ tất cả các đoạn thẳng trong phạm vi không gian quan sát để sau đó chiếu lên mặt phẳng quan sát. Tất cả các đoạn thẳng bên ngoài không gian quan sát sẽ bị vứt bỏ. Việc clipping này có thể được thực hiện bằng cách dùng một sự mở rộng thuật toán clipping đường hai chiều hoặc dùng các phương pháp clipping đa giác. Các phương trình mặt phẳng định nghĩa các biên của không gian quan sát có thể được dùng đến để kiểm tra các vị trí liên hệ của các điểm đầu mút đoạn thẳng và để định vị các giao điểm.

Bằng cách thay thế các tọa độ của một điểm đầu mút đoạn thẳng vào trong phương trình mặt của biên, chúng ta có thể xác định được điểm đầu mút đó thì ở trong hay ở ngoài biên. Một điểm đầu mút (x, y, z) của đoạn thẳng thì ở ngoài một mặt phẳng biên nếu Ax + By + Cz + D > 0, với A, B, C, và D là các tham số mặt của biên đó. Tương tự, điểm ở trong biên nếu Ax + By + Cz + D < 0. Các đoạn thẳng có cả hai điểm đầu mút nằm bên ngoài một mặt phẳng biên sẽ bị vứt bỏ, và các đoạn thẳng nào có cả hai điểm đầu mút nằm bên trong tất cả các mặt biên sẽ được giữ lại. Giao điểm của một đoạn thẳng với một mặt biên được tìm bằng cách dùng các phương trình đường thẳng và phương trình mặt. Tọa độ giao điểm (x₁, y₁, z₁) là các giá trị trên đường thẳng và thỏa phương trình mặt Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.

Khi hệ thống đã xác định được các đối tượng, mỗi đối tượng có độ ưu tiên riêng trong không gian quan sát, chúng nó được chiếu đến mặt phẳng quan sát. Tất cả các đối tượng trong không gian quan sát sẽ rơi nằm vào phạm vi cửa sổ chiếu. Cũng như trong không gian hai chiều, nội dung của cửa sổ sẽ được ánh xạ đến một vùng quan sát do người dùng chỉ định. Điều này làm chuẩn hóa các hệ tọa độ, sau đó, chúng được chuyển đổi đến các hệ tọa độ thiết bị thích hợp để hiển thị (xem hình 24).

Các không gian quan sát được bao bởi các mặt gần mặt xa và bởi các mặt trên đỉnh và dưới đáy. Các khoảng cách đến các mặt gần và xa được xác định bởi d_n và d_f