phương trình nút

mạch chỉ chứa điện trở và nguồn dòng điện

trong trường hợp ngoài điện trở ra, mạch chỉ chứa nguồn dòng điện thì viết cho mạch là biện pháp dễ dàng nhất để giải mạch. chúng ta luôn có thể viết phương trình một cách trực quan, tuy nhiên nếu trong mạch có nguồn dòng điện phụ thuộc thì ta cần có thêm các hệ thức diễn tả quan hệ giữa các nguồn này với các ẩn số của phương trình mới đủ điều kiện để giải mạch.

 nguồn dòng điện độc lập:

nếu mọi nguồn trong mạch đều là nguồn dòng điện độc lập, tất cả dòng điện chưa biết có thể tính theo (n - 1) điện thế nút. ap dụng định luật kcl tại (n - 1) nút, trừ nút chuẩn, ta được (n - 1) phương trình độc lập. giải hệ phương trình này để tìm hiệu thế nút. từ đó suy ra các hiệu thế khác.

thí dụ 3.1:

tìm hiệu thế ngang qua mỗi nguồn dòng điện trong mạch (h 3.6)

(h 3.6)

mạch có 3 nút 1, 2, o; n = 3 vậy n - 1 = 2, ta có 2 phương trình độc lập.

chọn nút o làm chuẩn, 2 nút còn lại là 1 và 2 . v₁ và v₂ chính là hiệu thế cần tìm.

viết kcl cho nút 1 và 2.

nút 1: (1)

nút 2: (2)

thu gọn:

(3)

(4)

giải hệ thống (3) và (4), ta được :

v1 = 8 (v) và v2 = 2 (v)

 thiết lập cho trường hợp tổng quát

xét mạch chỉ gồm điện trở r và nguồn dòng điện độc lập, có n nút. nếu không kể nguồn dòng điện nối giữa hai nút j và k, tổng số dòng điện rời nút j đến nút k luôn có dạng:

g_jk (v_j - v_k ) (3.2)

g_jk là tổng điện dẫn nối trực tiếp giữa hai nút j , k ( j ≠ k ) gọi là điện dẫn chung giữa hai nút j , k ; ta có:

g_jk = g_kj (3.3)

gọi i_j là tổng đại số các nguồn dòng điện nối với nút j.

định luật kcl áp dụng cho nút j:

(i_j > 0 khi đi vào nút j )

hay ( j ≠ k ) ( 3.4)

: là tổng điện dẫn của các nhánh có một đầu tại nút j. ta gọi chúng là điện dẫn riêng của nút j và ký hiệu:

{} (3.5)

phương trình (3.4) viết lại:

(3.6)

viết phương trình (3.6) cho (n - 1) nút ( j = 1, ..., n - 1 ), ta được hệ thống phương trình

nút 1: g₁₁v₁ - g₁₂v₂ - g₁₃v₃ . . . - g_1(.n-1)v_n-1 = i₁

nút 2: - g₂₁ v₁ + g₂₂ v ₂ - g₂₃ v ₃ . . . - g_2.(n-1) v _n-1 = i₂

:

:

:

nút n -1: - g_(n-1).1 v ₁ - g_(n-1).2 v ₂ . . . +g_(n-1)(.n-1) v _n-1 = i_n-1

dưới dạng ma trận:

hay

[g][v] = [i] (3.7)

[g]: gọi là ma trận điện dẫn các nhánh, ma trận này có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính và các phần tử có thể viết một cách trực quan từ mạch điện .

[v]: ma trận hiệu thế nút, phần tử là các hiệu thế nút.

[i]: ma trận nguồn dòng điện độc lập, phần tử là các nguồn dòng điện nối với các nút, có giá trị dương khi đi vào nút.

trở lại thí dụ 3.1:

i₁ = 5a và i­₂ = - 2a

hệ phương trình thành:

ta được kết quả như trên.

 nguồn dòng điện phụ thuộc :

phương pháp vẫn như trên nhưng khi viết hệ trị số của nguồn dòng điện này phải được viết theo hiệu thế nút để giới hạn số ẩn số vẫn là n-1. trong trường hợp này ma trận điện dẫn của các nhánh mất tính đối xứng.

thí dụ: 3.2

tín hiệu thế ngang qua các nguồn trong mạch (h 3.7).

(h 3.7)

ta có thể viết một cách trực quan:

(1)

hệ thống có 3 ẩn số, như vậy phải viết i₃ theo v₁ và v₂.

(2)

thay (2) vào (1) và sắp xếp lại

thí dụ 3.3

tính v₂ trong mạch (h 3.8).

(h 3.8)

chọn nút chuẩn o, v₁ & v₂ như trong (h 3.8)

hệ là:

(1)

với i₃ = 5v₁ (2)

ta được :

(3)

suy ra :

v 2 = - 114 (v)

mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế

 nguồn hiệu thế độc lập

nếu một nhánh của mạch là 1 nguồn hiệu thế độc lập, dòng điện trong nhánh đó không thể tính dễ dàng theo hiệu thế nút như trước. vì hiệu thế của nguồn không còn là ẩn số nên chỉ còn (n-2) thay vì (n-1) hiệu thế chưa biết, do đó ta chỉ cần (n-2) , viết nhờ định luật kcl để giải bài toán. để có (n-2) phương trình này ta tránh 2 nút nối với nguồn hiệu thế thì dòng điện chạy qua nguồn này không xuất hiện.

cuối cùng, để tìm dòng điện chạy trong nguồn hiệu thế, ta áp dụng định luật kcl tại nút liên hệ với dòng điện còn lại này, sau khi tính được các dòng điện trong các nhánh tại nút này.

thí dụ 3.4

tính v₄ và điện trở tương đương nhìn từ 2 đầu của nguồn hiệu thế v₁ trong (h 3.9).

(h 3.9)

mạch có n = 4 nút và một nguồn hiệu thế độc lập. chọn nút chuẩn o và nút v₁ nối với nguồn v₁ = 6 v nên ta chỉ cần viết hai phương trình cho nút v₂ và v₃.

viết kcl tại nút 2 và 3.

(1)

thu gọn:

(2)

giải hệ thống (2):

dòng i₁ là tổng các dòng qua điện trở 1ôm và 4ôm.

điện trở tương đương:

chúng ta chưa tìm được một phương pháp tổng quát để viết thẳng các trong những mạch có chứa nguồn hiệu thế.

trong thực tế nguồn hiệu thế thường được mắc nối tiếp với một điện trở (chính là nội trở của nguồn) nên ta có thể biến đổi thành nguồn dòng điện mắc song song với điện trở đó (biến đổi thevenin, norton).

nếu nguồn hiệu thế không mắc nối tiếp với điện ta phải dùng phương pháp chuyển vị nguồn trước khi biến đổi (đề cập ở trong một phần sau ).

sau các biến đổi, mạch đơn giản hơn và chỉ chứa nguồn dòng điện và ta có thể viết hệ phương trình một cách trực quan như trong phần 3.2.1.

trong thí dụ 3.3 ở trên, mạch (h 3.9) có thể vẽ lại như ở (h 3.10a) mà không có gì thay đổi và biến các nguồn hiệu thế nối tiếp với điện trở thành các nguồn dòng song song với điện trở ta được (h 3.10b).

(h 3.10)

và :

giải hệ thống ta tìm lại được kết quả trên.

 nguồn hiệu thế phụ thuộc :

ta cần một phương trình phụ bằng cách viết hiệu thế của nguồn phụ thuộc theo hiệu thế nút.

thí dụ 3.5

tìm hiệu thế v₁ trong mạch (h 3.11)

(h 3.11)

mạch có 4 nút và chứa 2 nguồn hiệu thế nên ta chỉ cần viết 1 cho nút b. chọn nút o làm chuẩn, phương trình cho nút b là:

(1)

với phương trình phụ là quan hệ giữa nguồn phụ thuộc và các hiệu thế nút:

vb=24-v1 size 12{v rSub { size 8{b} } ="24-"v rSub { size 8{1} } } {} (2)

thay (2) vào (1), sau khi đơn giản:

v 1 =2 (v)