Phép kéo theo và phep tương đương
Hai phán đoán đơn P, Q có thể liên kết với nhau bằng liên từ lôgíc “NẾU … THÌ…” lập thành một phán đoán phức. Ký hiệu : P → Q, đọc là : Nếu P thì Q; P kéo theo Q. Ví dụ : Nếu chuồn chuồn bay ...
Hai phán đoán đơn P, Q có thể liên kết với nhau bằng liên từ lôgíc “NẾU … THÌ…” lập thành một phán đoán phức.
Ký hiệu : P → Q, đọc là : Nếu P thì Q; P kéo theo Q.
Ví dụ : Nếu chuồn chuồn bay thấp thì mưa.
- Phán đoán P → Q chỉ sai khi P đúng mà Q sai, đúng trong mọi trường hợp khác nhau.
- Cụ thể : - Khi P (đ), Q (đ) thì P → Q (đ)
P (đ), Q (s) thì P → Q (s)
P (s), Q (đ) thì P → Q (đ)
P (s), Q (s) thì P → Q (đ)
Bảng chân lý của phép kéo theo.
- Như vậy phán đoán : Nếu chuồn chuồn bay thấp thì mưa, chỉ sai khi : “Chuồn chuồn bay thấp” (P đúng) mà “trời không mưa” (Q sai).
Các trường hợp khác, phán đoán trên đều đúng.
“Chuồn chuồn bay thấp” (P đúng), “trời mưa”(Q đúng)
“Chuồn chuồn không bay thấp” (P sai), “trời mưa”(Q đúng)
“Chuồn chuồn không bay thấp” (P sai), “trời không mưa”(Q sai)
- Trong ngôn ngữ tự nhiên, nhiều phán đoán không có liên từ lôgíc “NẾU… THÌ…” mà vẫn thuộc dạng phán đoán P → Q.
Ví dụ : - Ở hiền gặp lành.
- Tức nước, vỡ bờ.
- Quyết chí ắt làm nên.
- Trong lôgíc hiện đại, đối với phán đoán P → Q, giữa P và Q không nhất thiết phải có liên hệ nhân quả (nghĩa là P là nguyên nhân của Q và Q là kết quả của P). Giữa P và Q có thể có các liên hệ sau :
- Liên hệ nhân quả :
Ví dụ : Có công mài sắt có ngày nên kim.
- Liên hệ điều kiện :
Ví dụ : Bao giờ chạch đẻ ngọn đa.
Sáo đẻ dưới nước thì ta lấy mình.
- Liên hệ lôgíc :
Ví dụ : Nếu gà gáy thì trời sáng.
- Liên hệ định nghĩa :
Ví dụ : Nếu tứ giác đã cho là hình vuông thì các cạnh phải bằng nhau và các góc phải vuông.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ.
Xét phán đoán P → Q, khi P đúng thì Q cũng đúng, khi đó P được gọi là điều kiện đủ của Q. Thông thường phán đoán này được diễn đạt dưới dạng :
- Có P là đủ để có Q.
- Muốn có Q thì cần có P là đủ.
- Muốn có Q chỉ cần có P.
Tóm lại, P được gọi là điều kiện đủ của Q khi có P thì có Q.
Ví dụ : Nếu đốt nóng thanh sắt thì chiều dài của nó tăng lên.
- Đốt nóng thanh sắt là điều kiện đủ để chiều dài của nó tăng lên.
- Muốn chiều dài của thanh sắt tăng lên thì chỉ cần đốt nóng nó.
ĐIỀU KIỆN CẦN.
Xét phán đoán P → Q, khi đúng P thì Q cũng đúng, khi đó P được gọi là điều kiện cần của Q. Thông thường phán đoán này được diễn đạt dưới dạng :
- Có P là cần để có Q.
- Muốn có Q cần (phải) có P.
- Chỉ có Q khi có P.
Ví dụ : Biết ngoại ngữ là điều kiện cần để được làm việc trong các công ty nước ngoài.
- Muốn được làm việc trong các công ty nước ngoài thì cần phải biết ngoại ngữ.
Tóm lại : P được gọi là điều kiện cần của Q khi không có P thì không có Q.
Lưu ý rằng : P → Q = P → Q
Cho nên : khi P là điều kiện đủ của Q (P → Q)
thì Q là điều kiện cần của P (P →Q)
Mặt khác : P → Q ≠ P → Q
P → Q ≠ P → Q
Cho nên : P là điều kiện đủ nhưng không cần để có Q.
Q là điều kiện cần nhưng không đủ để có P.
Vì vậy : - Đốt nóng là điều kiện đủ nhưng không cần để chiều dài của thanh sắt tăng lên.
- Biết ngoại ngữ là điều kiện cần nhưng không đủ để được làm việc trong các công ty nước ngoài.
ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ.
Xét phán đoán P Q thể hiện điều kiện cần và đủ. Phán đoán này còn được diễn đạt :
- P là điều kiện cần và đủ của Q.
- Nếu có P thì có Q và nếu có Q thì có P.
- Có P khi chỉ khi có Q.
Ví dụ : Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3 và Nếu một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Do đó : Tổng các chữ số chia hết cho 3 là điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 3.
Phép tương đương.
Từ các phán đoán đơn P, Q có thể liên kết với nhau nhờ lên từ lôgíc KHI và CHỈ KHI tạo thành một phán đoán phức.
Ký hiệu : P Q, đọc là : Có P khi và chỉ khi có Q.
Có Q khi và chỉ khi có P.
- Phán đoán P Q đúng khi cả P lẫn Q cùng đúng hoặc cùng sai, sai trong các trường hợp khác.
- Cụ thể : - Khi P (đ), Q (đ) thì P Q (đ)
P (đ), Q (s) thì P Q (s)
P (s), Q (đ) thì P Q (s)
P (s), Q (s) thì P Q (đ)
Bảng chân lý của phép tương đương.
Ví dụ : Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số đó là số chẵn.
Tính đẳng trị của phán đoán – Một số hệ thức tương đương.
Nhiều phán đoán có quan hệ với nhau không chỉ giống nhau về đối tượng, có chung chủ từ và vị từ của phán đoán mà còn giống nhau về giá trị lôgíc của chúng. Sự giống nhau về giá trị lôgíc gọi là tính đẳng trị của các phán đoán, nghĩa là các phán đoán tương đương lôgíc với nhau.
Ký hiệu A = B, đọc là : A tương đượng lôgíc với B.
Ví dụ : Phán đoán : “Bé đi học” và “Không phải Bé không đi học” là hai phán đoán có cùng giá trị lôgíc hay là tương đương lôgíc với nhau.
- Một số hệ thức tương đương :
P = P
P ∧ P = P
P ∨ P = P
P ∧P = 0
P ∨P = 1
P → Q = Q → P
P → Q = P ∨ Q
P → Q = (P ∧ Q)
P ∧ Q = (P → Q)
P ∧ Q = (Q → P)
P ∧ Q = (P ∨Q)
P ∨ Q = P → Q
P ∨ Q = Q → P
P ∨ Q = (P ∧Q)
