Mô hình toán kinh tế

Mô hình toán

Mô hình toán là một mô tả các hiện tượng bằng ngôn ngữ toán. Theo cách hiểu này thì chúng ta đã gặp rất nhiều mô hình toán như vậy ngay từ khi mới bắt đầu làm quen với môn toán. Có thể nêu ra đây một số ví dụ hết sức đơn giản. Xét bài toán sau "Một người đi từ A đến B với vận tốc 5km/h, hỏi thời gian cần thiết để tới B là bao nhiêu nếu quãng đường từ A đến B dài 10km". Các yếu tố được miêu tả trong bài toán là một hiện tượng. Để giải bài toán trên chúng ta diễn đạt theo ngôn ngữ toán như sau: "Gọi khoảng cách từ A đến B là s, vận tốc của người đó là v. Thời gian cần thiểt là đi từ A đến B là t. Khi đó ta có quan hệ sau: s = v x t". Quan hệ (phương trình) nhận được miêu tả chính xác hiện tượng nêu ra trong bài toán. Có thể gọi nó là một mô hình toán. Với mô hình nhận được ta không chỉ giải quyết một bài toán cụ thể mà có thể giải một lớp các bài toán khác nhau.

Mô hình toán trong kinh tế

Một câu hỏi có thể đặt ra là, nhưng hiện tượng nào có thể mô tả theo ngôn ngữ toán học?. Toán học có ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Từ những vấn đề đơn giản như trong ví dụ trên đến phức tạp như các vấn đề trong tự nhiên, xã hội. Ở đây chúng ta đề cập đến các ứng dụng của toán học trong kinh tế. Một vấn đề đầu tiên trong kinh tế là quan hệ sản xuất, đây là mối liên hệ giữa chi phí và khối lượng sản phẩm tạo ra.

Quan hệ này chúng ta có thể miêu tả bằng một hàm số y = f(x), trong đó x là các nguyên liệu đầu vào, y là sản phẩm tạo ra.

Có rất nhiều câu hỏi đặt ra:

* Tìm cách kết hợp các nguyên liệu đầu vào để thu được nhiều sản phẩm nhất f(x)->max

* Trong điều kiện giá thị trường của mặt hàng y là p, giá nguyên liệu x là q, và chúng ta chỉ có một lượng vốn nhất định. Tìm cách tối ưu hóa lợi nhuận u = yp - xq.

Bên cạnh đó còn rất nhiều vấn đề khác như quá trình hình thành giá trong điều kiện cạnh tranh tự do hoặc độc quyền, việc phân bố hàng hóa, đổi mới công nghệ sản xuất, v.v...

Xây dựng mô hình toán

Việc xây dựng mô hình toán phụ thuộc vào hiện tượng chúng ta muốn miêu tả. Khi mô tả quá trình phát triển của một đối tượng kinh tế khi biết sự thay đổi của nó theo thời gian x’(t) ta dùng một hệ phương trình vi phân x’(t) = f(t,x). Khi mô tả quy trình sản xuất nhằm tối đa lợi nhuận ta có một bài toán tối ưu. Còn khi miêu tả diễn biến giá của một cổ phiếu trên thị trường chứng khoán chúng ta thường sử dụng công cụ là lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên. Sự đa dạng của các đối tượng cần khảo sát tạo ra sự đa dạng của các mô hình nhận được. Có thể nhận được một mô hình tuyến tính hoặc phi tuyến, có thể mọi tham số đều được xác định hoặc trong điều kiện một số tham số không xác định.

Khi xây dựng được một mô hình toán, một cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi: "Mô hình này có hiệu quả hay không?" Một mô hình tốt phải đảm bảo hai yếu tố:

* Tính chính xác: mô hình bao quát được hầu hết các tính chất đặc trưng của đối tượng cần khảo sát. Nó đảm bảo tính chính xác của các kết quả nghiên cứu và dự đoán trên mô hình đó.

* Tính đơn giản: một mô hình quá phức tạp sẽ không có ý nghĩa trong thực tế vì không thể tiến hành các khảo sát trên mô hình đó.

Tuy nhiên hai yếu tố này mâu thuẫn với nhau. Muốn miêu tả chính xác đối tượng thì cần rất nhiều tham số, việc tăng số lượng tham số trong mô hình dẫn tới việc tăng độ phức tạp trong khảo sát. Vì vậy khi xây dựng mô hình phải dung hòa hai yếu tố này tùy theo yêu cầu của bài toán.

Một số vấn đề khi xây dựng mô hình toán trong kinh tế

* Trước hết là vấn đề độ đo trong kinh tế; Các đại lượng trong kinh tế rất đa dạng vì thế để có thể khảo sát cần có một công cụ để so sánh giữa các đại lượng. Chúng ta có thể hình dung vấn đề này qua một ví dụ đơn giản như sau: "trong mùa đông có thể bạn cần 1 bộ quần áo ấm hơn một thiết bị giải trí, vì thế bạn sẽ đánh giá bộ quần áo có giá trị hơn dù chúng có cùng giá thành như nhau. Nhưng khi đã có 1 vài bộ quần áo rồi thì bạn lại đánh giá ngược lại. Thiết bị giải trí kia có giá trị hơn bộ quần áo". Chúng ta cần phải tìm được một công cụ trong toán để so sánh 2 đối tượng này.

* Bao quát được các tính chất đặc trưng; Khi muốn khảo sát một đối tượng nào đó chúng ta phải hiểu về nó. Như vậy để xây dựng được các mô hình toán trong kinh tế cần có những hiểu biết nhất định về kinh tế, các quan hệ giữa các đại lượng kinh tế, tầm quan trọng của một vài tham số đối với vấn đề chúng ta đang quan tâm. Cần phải nắm được điều quan trọng nhất có ảnh hưởng quyết định tới vấn đề cần khảo sát là gì.

* Tính toán các tham số; Các tham số sẽ quyết định kết quả khảo sát trên mô hình nhận được. Các tham số này nhận được từ quá trình theo dõi, nghiên cứu các số liệu thực tế của vấn đề cần khảo sát. Quá trình tính toán các tham số đôi khi chiếm phần lớn thời gian trong quá trình xây dựng một mô hình toán. Điều này đặc biệt khó khăn tại Việt Nam vì chúng ta chưa có hệ thống các dữ liệu thống kê chuẩn phục vụ cho nghiên cứu.