Mô hình hóa các hệ thống vật lý

Chuyển động tịnh tiến.

Chuyển động tịnh tiến được định nghĩa như là một chuyển động dời chổ dọc theo một đường thẳng. Các biến được dùng mô tả chuyển động tịnh tiến là gia tốc, vận tốc và độ dời.

Định luật Newton chứng tỏ rằng tổng đại số các lực tác động lên một cäú thãø theo một phương đã cho thì bằng tích số của khối lượng của cäú thãø và gia tốc của nó theo cùng phương đó.

 lực = Ma(5.8)

Trong đó: M là khối lượng và a là gia tốc.

Trong chuyển động tịnh tiến, các bộ phận sau đây thường được đưa vào:

• Khối lượng.

Khối lượng được xem như là một đặc trưng của một bộ phận tích trữ động năng trong chuyển động tịnh tiến. Nó tương đương với cuộn cảm của mạch điện. Nếu W là trọng lượng của cäú thãø, thì M được cho bởi:

M=Wg size 12{ size 13{M= { { size 13{W}} over { size 13{g}} } }} {}(5.9)

g: Gia tốc trọng trường.

Trong hệ thống SI, đơn vị của M là kg, của g là m/s2; của lực là Newton(N).

f(t)My(t)

Hình H.5_3: Hệ thống lực- khối lượng.

HìnhH. 5_3 mô tả vị trí mà ở đó một lực tác động lên một cäú thãø có khối lượng M.

Phương trình được viết:

f(t)=Ma(t)=Md2y(t)dt2=Mdv(t)dt size 12{ size 13{f ( t ) =M`a ( t ) =M` { { size 13{d rSup { size 8{2} } y ( t ) }} over { size 12{ ital "dt" rSup { size 8{2} } } } } =M` { { size 12{ ital "dv" ( t ) } } over { size 12{ ital "dt"} } } }} {}(5.10)

Trong đó y(t) chỉ độ dời; v(t): vận tốc; a(t): gia tốc.

Tất cả được tham chiếu theo hướng của lực áp dụng.

• Lò xo tuyến tính.

Một cách tổng quát, là xo được xem như là một bộ phận tích trữ thế năng. Nó tương đương với tụ điện trong các mạch điện.

Trong thực tế, lò xo tuyến tính có thể là một lò xo thực sự, hoặc một dây courroir. Dù tất cả các lò xo đều phi tuyến ở vài vùng hoạt động. Nhưng, nếu sự biến dạng của lò xo nhỏ, trạng thái của nó có thể được xấp xỉ hoá (approximated) bằng một hệ thức tuyến tính:

f(t)= Ky(t)(5.11)

Với K là hằng số lò xo, hoặc hằng số đàn hồi (Stifness)

Đơn vị của K: N/m

Phương trình (5.11) cho thấy lực tác động lên lò xo thì tỷ lệ trực tiếp với độ dời (độ biến dạng) của lò xo. Mô hình biểu diển một bộ phận lò xo tuyến tính vẽ ở hình H.5_4.

y(t)f(t)

H.5_4: Hệ thống lực-lò xo.

Nếu lò xo có mang trước một sức căng T thì (5.12) sẽ được cải biến thành:

f(t)-T= Ky(t)(5.12)

Lực ma sát trong chuyển động tịnh tiến.

Mỗi khi có sự chuyển động hoặc khuynh hướng chuyển động giữa hai vật, lực ma sát sẽ xuất hiện. Lực ma sát gặp trong các hệ vật lý thường là phi tuyến. Những đặc tính của các loại lực ma sát giữa hai bề mặt tiếp xúc thường phụ thuộc vào các hệ số như là sự phối hợp bề mặt, áp suất giữa các bề mặt, vận tốc tương đối của chúng và những thứ khác, làm cho việc mô tả toán học một cách chính xác lực ma sát thì rất khó. Tuy nhiên, với chủ đích thực hành, lực ma sát có thể chia thành ba loại như sau: Ma sát trượt, ma sát nghĩ và ma sát coulomb.

• Ma sát trượt ( ma sát nhớt-Vicous Friction)

Ma sát trượt biểu diễn một lực cản có liên hệ tuyến tính giữa lực tác dụng và vận tốc. Lực ma sát trượt thường được mô hình hoá bằng một dashpot (ống đệm), có ký hiệu như hình H.5_5.

Hình H.5_5: Dashpot của ma sát trượt.

Phương trình biểu diễn lực ma sát trượt:

f(t)=Bdy(t)dt size 12{ size 13{f ( t ) =B { { size 13{ ital "dy" ( t ) }} over { size 13{ ital "dt"}} } }} {} (5.13)

Trong đó: B là hệ số ma sát trượt. (N/m/sec)

Hình H.5_5a, trình bày sự tương quan giữa lực ma sát trượt và vận tốc.

• Ma sát nghĩ (Static Friction).

Ma sát nghĩ biểu diễn một lực cản, có khuynh hướng ngăn cản chuyển động lúc vừa bắt đầu (khi chuyển động bắt đầu ma sát nghĩ có trị cực đại bằng ma sát trượt). Ma sát nghĩ được biểu diễn bởi biễu thức:

f(t) = (Fs)y’=0 (5.14)

Trong đó: (Fs)y’ = 0 được định nghĩa như là lực ma sát nghĩ tồn tại chỉ khi vật đứng yên nhưng đang có khuynh hướng chuyển động. Dấu của lực tùy thuộc và chiều chuyển động hoặc chiều ban đầu của vận tốc. Sự tương quan giữa lực và vận tốc vẽ ở hình H.5_5b. Nhớ là một khi chuyển động bắt đầu, lực ma sát nghĩ biến mất, và loại lực ma sát khác xuất hiện.

• Ma sát coulomb.

Lực ma sát coulomb là một lực cản, có độ lớn không đổi đối với sự biến thiên của vận tốc. Dấu của lực thì thay đổi khi vận tốc đổi chiều. Phương trình toán học của lực ma sát coulomb:

{}f(t)=Fcdydt/∣dydt∣ size 12{ size 13{f ( t ) = ital "Fc" left ( { { { size 13{ ital "dy"}} over { size 13{ ital "dt"}} } } slash { lline { { size 13{ ital "dy"}} over { size 13{ ital "dt"}} } rline } right )}} {}(5.15)

Trong đó Fc là hệ số ma sát coulomb. Sự tương quan giữa lực và vận tốc vẽ ở hình H.5_5c.

H.5_5a. H.5_5b. H.5_5c.

Chuyển động quay.

Chuyển động quay của một vật có thể được định nghĩa như là chuyển động của vật quanh một trục cố định. Các biến số thường dùng để mô tả chuyển động quay là moment; gia tốc góc ; vận tốc góc ; và góc dời .

Các bộ phạân sau đây thường được đưa vào để mô hình hoá chuyển động quay.

1. Quán tính (Inertia).

Quán tính J, được xem như là chỉ thị tính chất của một bộ phận tích trữ động năng trong chuyển động quay. Quán tính của vật phụ thuộc vào sự tổng hợp hình học quanh trục quay và khối lượng của nó. J còn gọi là moment quán tính.

Thí dụ: quán tính của một dĩa tròn hoặc một trục tròn quay quanh trục hình học là:

J=12Mr2 size 12{ size 13{J= { { size 13{1}} over { size 13{2}} } ital "Mr" rSup { size 8{2} } }} {} (5.16)

Trong đó, M là khối lượng của dĩa hoặc của trục và r là bán kính của chúng.

Khi một moment được áp dụng vào một cố thể với quán tính J, như hình H.5_7, thì phương trình moment được viết:

T(x)= T(x)=Jα(t)Jdω(t)dt=Jd2θ(t)dt2 size 12{T ( x ) =Jα ( t ) J { {dω ( t ) } over { ital "dt"} } =J { {d rSup { size 8{2} } θ ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } } {} (5.17)

J : Kg.m2 ; T :N.m ;  :radian.

H.5_7: Hệ thống moment _quán tính.

b. Lò xo xoắn (torsional spring).

Khi áp dụng một moment lên một thanh hay một trục quay có khối lượng không đáng kể, trục quay một góc . Nếu k là hằng số xoắn, moment trên một đơn vị góc dời, thì hệ thống có thể biểu diễn bằng hình H.5_8 và phương trình:

T(t)=K(t) (5.18)

H.5_8: Hệ thống moment- lò xo xoắn.

Nếu lò xo xoắn có mang trước một moment Tp, thì phương trình trên được cải tiến.

T(t) –TP =K(t) (5.19)

c. Ma sát trong chuyển động quay.

Cả ba loại ma sát đã mô tả trong chuyển động tịnh tiến đều có thể áp dụng cho chuyển động quay. Do đó các phương trình (5.13), (5.14) và (5.15) có thể viết lại trong trường hợp này như sau:

T(t)=Bdθdt size 12{T ( t ) =B { {dθ} over { ital "dt"} } } {} (5.20)

T(t)=  (Fs)’=0 (5.21)

T(t)=Fc size 12{T ( t ) =F rSub { size 8{c} } left ( { { {dθ} over { ital "dt"} } } wideslash { lline { {dθ} over { ital "dt"} } rline } right )} {} (5.22)

Trong đó, B :Hệ số ma sát nhớt, moment trên một đơn vị vận tốc góc.

(Fs)=0 là ma sát nghỉ.

Fc : là ma sát coulomb.

Sự tương quan giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.

Trong vấn đề điều khiển chuyển động, thường khi ta cần đổi một chuyển động quay thành một chuyển động tịnh tiến. Thí dụ,

• Hình H.5_9 : bộ điều khiển đổi một chuyển động quay thành một chuyển động thẳng nhờ motor và bộ screw (Vis Faraday)
• Hình H.5_10: cũng có chức năng tương tự, nhưng sự chuyển đổi thực hiện nhờ thanh răng (rack) và pinion(nhông)./
• Hình H.5_11: Một bộ điều khiển chuyển động thông dụng khác, dùng pulley (ròng rọc) và dây couroir .

H.5_10

Các hệ thống trên điều có thể được biểu diễn bằng một hệ thống đơn giản với một quán tính tương đương mắc trực tiếp vào một motor thúc.

Thí dụ, khối lượng ở hình H.5_11, có thể xem như là một khối điểm (point mass) chuyển động quanh ròng rọc, bán kính r. Bỏ qua quán tính của ròng rọc, thì quán tính tương đương do motor là: J=Mr2=wgr2 size 12{J= ital "Mr" rSup { size 8{2} } = { {w} over {g} } r rSup { size 8{2} } } {} (5.23)

• Nếu bán kính của pinion ở hình H.5_10 là r, quán tính tương đương do motor cho bởi phương trình (5.23).

Bây giờ ta xem hệ thống ở hình H.5_9. Gọi L là khoảng di chuyển thẳng của khối lượng khi khoảng cách space convis xoay một vòng. Về nguyên tắc, hai hệ thống ở hình H.5_10 và H.5_11 thì tương đương. Ơû hình H.5_10 khoảng di chuyển thẳng của khối lượng trên mỗi vòng quay của pinion làL=2r.

Do đó, dùng phương trình (5.23) để tính quán tính tương đương của hệ ở hình H.5_9.

J=wgL2π2 size 12{J= { {w} over {g} } left ( { {L} over {2π} } right ) rSup { size 8{2} } } {} (5.24)

Cơ năng và công suất.

Năng lượng và công suất giữ vai trò quan trọng trong việc thiết kế các hệ thống điện cơ.

Năng lượng được tích trữ dưới dạng động năng và thế năng âiãưu khiãøn tính “động” của hệ thống. Tuy nhiên, năng lượng tiêu tán thường ở dạng nhiệt, cũng cần được kiểm soát.

* Khối lượng hoặc quán tính của một vật chỉ khả năng tích trữ động năng. Động năng của một khối lượng di chuyển với vận tốc v là:

Wk=12Mv2 size 12{W rSub { size 8{k} } = { {1} over {2} } ital "Mv" rSup { size 8{2} } } {} (5.25)

Wk: Joule, hoặc Nm ; M: N/m/sec2 ;v: m/s.

đối với một hệ thống quay, động năng được viết:

Wk=12Jω2 size 12{W rSub { size 8{k} } = { {1} over {2} } Jω rSup { size 8{2} } } {} (5.26)

J: moment quán tính Kg.m2

: vận tốc góc rad/s.

* {}lò xo tuyến tính bị biến dạng một chiều dài y , sẽ tích trữ một thế năng: Wk=12Ky2 size 12{W rSub { size 8{k} } = { {1} over {2} } ital "Ky" rSup { size 8{2} } } {} (5.27)

* lò xo xoắn, tích trữ thế năng:

Wp=12Kθ2 size 12{W rSub { size 8{p} } = { {1} over {2} } Kθ rSup { size 8{2} } } {} (5.28)

 : Góc xoắn.

Đối với một bộ phận ma sát, năng lượng biểu diễn một sự mất hoặc tiêu hao bởi hệ thống khi đối kháng với lực ma sát. Công suất tiêu tán trong bộ phận có ma sát là tích số của lực và vận tốc.

P=f.v (5.29)

Vì f= B.v, với B là hệ số ma sát, nên:

P=B.v2 (5.30)

( P: N.m/s2 hoặc watt (w)).

Vậy năng lượng tiêu tán trong bộ phận ma sát la:

Wd=B∫v2dt size 12{W rSub { size 8{d} } =B Int {v rSup { size 8{2} } ital "dt"} } {} (5.31)

Bánh răng - đòn bẩy – dây courroir.

Bánh răng, đòn bẩy hoặc dây courroir và pu-li là những cơ phận truyền năng lượng từ một bộ phận này đến một bộ phận khác của hệ thống đễ thay đổi lực, moment, vận tốc và độ dời. Chúng cũng được xem như là những bộ phận phối hợp nhằm đạt đến sự truyền công suất tối đa.

Hai bánh răng nối nhau như hình H.5_12. Quán tính và ma sát của chúng được xem như không đáng kể trong trường hợp lý tưởng.

Những hệ thức giữa moment T1 và T2, góc dời 1 và2 , số răng N1 và N2 của bộ bánh răng được dẫn xuất từ các sự kiện sau đây:

1_ Số răng trên bề mặt các bánh răng tỉ lệ với bán kính r1và r2 của bánh răng:

r1N2=r2N1 (5.32)

2_ Khoảng dịch dọc theo bề mặt của mỗi bánh răng thì bằng nhau.

1r1=2r2 (5.33)

3_ Giả sử không có sự mất năng lượng, công tạo bởi bánh răng này bằng công của bánh răng kia.

T11=T22 (5.34)

Nếu 1 và 2 là vận tốc góc của chúng thì:

T1T2=θ2θ1=N1N2=ω2ω1=r1r2 size 12{ { {T rSub { size 8{1} } } over {T rSub { size 8{2} } } } = { {θ rSub { size 8{2} } } over {θ rSub { size 8{1} } } } = { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } = { {ω rSub { size 8{2} } } over {ω rSub { size 8{1} } } } = { {r rSub { size 8{1} } } over {r rSub { size 8{2} } } } } {} (5.35)

Thực tế, các bánh răng đều có quán tính và lực ma sát thỉåìng không bỏ qua.

T= moment áp dụng

1, 2: góc dời.

T1, T2: moment được truyền đến bánh răng

J1, J2; quán tính của bánh răng

N1, N2: số răng

Fc1,Fc2: Hệ số ma sát coulomb.

B1, B2: Hệ số ma sát nhớt (trượt).

Phương trình moment của bánh răng 2 được viết:

T2(t)=J2d2θ2(t)dt2+B2dθ2(t)dt+Fc2θ2.∣θ1.∣ size 12{T rSub { size 8{2} } ( t ) =J rSub { size 8{2} } { {d rSup { size 8{2} } θ rSub { size 8{2} } ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } +B rSub { size 8{2} } { {dθ rSub { size 8{2} } ( t ) } over { ital "dt"} } + ital "Fc" rSub { size 8{2} } { { {θ rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ "." } } } over { lline {θ rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "." } } rline } } } {} (5.36)

Phương trình moment của bánh răng 1 là:

T2(t)=J1d2θ1(t)dt2+B1dθ1(t)dt+Fc1θ1.∣θ1.∣+T1(t). size 12{T rSub { size 8{2} } ( t ) =J rSub { size 8{1} } { {d rSup { size 8{2} } θ rSub { size 8{1} } ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } +B rSub { size 8{1} } { {dθ rSub { size 8{1} } ( t ) } over { ital "dt"} } + ital "Fc" rSub { size 8{1} } { { {θ rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "." } } } over { lline {θ rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "." } } rline } } +T rSub { size 8{1} } ( t ) "." } {} (5.37)

Dùng (5.35), phương trình (5.36) đổi thành:

T1(t)=N1N2T2(t)=N1N22J2d2θ1(t)dt2+N1N22B2dθ1(t)dt+N1N2Fc2θ1.∣θ1.∣ size 12{T rSub { size 8{1} } ( t ) = { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } T rSub { size 8{2} } ( t ) = left ( { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } J rSub { size 8{2} } { {d rSup { size 8{2} } θ rSub { size 8{1} } ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } + left ( { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } B rSub { size 8{2} } { {dθ rSub { size 8{1} } ( t ) } over { ital "dt"} } + { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } ital "Fc" rSub { size 8{2} } { { {θ rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "." } } } over { lline {θ rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "." } } rline } } } {} (5.38)

Phương trình (5.38) chứng tỏ rằng có thể phản xạ quán tính, ma sát,momen,vận tốc và độ dời từ phía naỳ sang phía kia của bộ bánh răng.

Như vậy, các đại lượng sau đây sẽ có được khi phản xạ từ bánh răng 2 sang bánh răng 1 :

Quán tính : N1N22J2 size 12{ left ( { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } J rSub { size 8{2} } } {}

Hệ số ma sát nhớt : N1N22B2 size 12{ left ( { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } B rSub { size 8{2} } } {}

Momen : N1N2T2 size 12{ { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } T rSub { size 8{2} } } {}

Góc dời : N2N1θ2 size 12{ { {N rSub { size 8{2} } } over {N rSub { size 8{1} } } } θ rSub { size 8{2} } } {}

Vận tốc góc : N2N1ω2 size 12{ { {N rSub { size 8{2} } } over {N rSub { size 8{1} } } } ω rSub { size 8{2} } } {}

Momen ma sát coulomb : N1N2Fc2ω2∣ω2∣ size 12{ { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } ital "Fc" rSub { size 8{2} } { {ω rSub { size 8{2} } } over { lline ω rSub { size 8{2} } rline } } } {}

Nếu có sự hiện diện của lò xo xoắn, hằng số lò xo cũng được nhán bởi 2 size 12{ left ( {N rSub { size 8{1} } } wideslash {N rSub { size 8{2} } } right ) rSup { size 8{2} } } {}, khi phản xạ từ bánh răng 2 sang bánh răng 1.

Bây giờ, thay (5.38) vào (5.37) :

T(t)= J1ed2θ1tdt2 size 12{J rSub { size 8{1e} } { {d rSup { size 8{2} } θ rSub { size 8{1} } left (t right )} over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } } {} + B1edθ1tdt size 12{B rSub { size 8{1e} } { {dθ rSub { size 8{1} } left (t right )} over { ital "dt"} } } {} + TF size 12{T rSub { size 8{F} } } {} (5.39)

Trong đó :

J1e size 12{J rSub { size 8{1e} } } {} = J1 size 12{J rSub { size 8{1} } } {} + {}N1N22J2 size 12{ left ( { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } J rSub { size 8{2} } } {}(5.40)

B1e size 12{B rSub { size 8{1e} } } {} = B1 size 12{B rSub { size 8{1} } } {} + N1N22B2 size 12{ left ( { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } right ) rSup { size 8{2} } B rSub { size 8{2} } } {}(5.41)

TF size 12{T rSub { size 8{F} } } {} = Fc1θ1.∣θ.1∣ size 12{ ital "Fc" rSub { size 8{1} } { { {θ rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "." } } } over { lline {θ} cSup { size 8{ "." } } rSub { size 8{1} } rline } } } {} + N1N2Fc2θ2.∣θ.2∣ size 12{ { {N rSub { size 8{1} } } over {N rSub { size 8{2} } } } ital "Fc" rSub { size 8{2} } { { {θ rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ "." } } } over { lline {θ} cSup { size 8{ "." } } rSub { size 8{2} } rline } } } {}(5.42)

Dây courroir và dáy chain được dùng cùng mục đích như bộ bánh răng. Nhưng nó cho phép chuyển năng lượng với khoảng cách xa hơn mà không dùng các bánh răng với số răng quá lớn. Hình H.5_14 vẽ sơ đồ của một dây courroir (hoặc chain) giữa hai ròng rọc (pulley). Giả sử không có sự trượt giữa chúng. Dễ thấy rằng phương trình (5.41) vẫn còn được áp dụng trong trường

hợp này. Thật vậy, sự phản xạ (hay sự truyền dẫn) của momen, quán tính ma sát thì tương tự như trong một bộ bánh răng.

Đòn bẩy (lever) như trong hình H.5_15 truyền chuyển động thẳng và lực tương tự cách thức mà bộ bánh răng truyền chuyển động quay.

Hệ thức giữa lực và khoảng cách là :

f1f2 size 12{ { {f rSub { size 8{1} } } over {f rSub { size 8{2} } } } } {} = l2l1 size 12{ { {l rSub { size 8{2} } } over {l rSub { size 8{1} } } } } {} = x2x1 size 12{ { {x rSub { size 8{2} } } over {x rSub { size 8{1} } } } } {}(5.43)

Sơ lược về các lọai động cơ DC:

Motor DC có thể được xếp thành 2 loại : loại có từ thông thay đổi được và loại không có từ thông thay đổi được.

-Trong loại thứ nhất: Từ trường được tạo bởi cuộn cảm. Mà cuộn cảm thì đấu với 1 từ trường ngoài. Loại động cơ này lại được có thể chia làm 2 loại: kích từ nối tiếp và kích từ riêng.

H.5_19a, ký hiệu của động cơ DC kích từ nối tiếp. Cuộn cảm đấu nối tiếp với phần ứng.

H.5_19b động cơ nối tiếp kích từ riêng. Cuộn cảm cách ly với phần ứng và được cấp điện bởi 1 nguồn điện khác.

+ Trong loại kích từ nối tiếp, từ thông trong động cơ thì tỷ lệ với dòng điện cảm, mà dòng này thì thay đổi, sự liên hệ giữa moment và vận tốc thường là phi tuyến. Như vậy loại động cơ này chỉ dùng trong những ứng dụng đặt biệt cần đến moment lớn với vận tốc thấp. Momen của motor giảm rất nhanh khi vận tốc tăng.

+ Đối vối loại kích từ riêng từ thông thì độc lập với dòng điện ứng. Vì vậy nó có thể được điều khiển từ bên ngoài trong 1 phạm vi rộng.

-Trong loại thứ 2 motor DC có từ thông không đổi, từ trường phần cảm là do 1 nam châm vĩnh cửu và không thay đổi . Loại này gọi là PM motor.

Điều này khiến đặc tuyến moment-vận tốc tương đối tuyến tính.

Các động cơ DC qui ước đều có chổi và cổ góp. Nhưng hiện nay có loại động cơ DC mà cổ góp được thay bằng bộ phận điện tử . Loại này được gọi là động cơ DC không chổi(âDC brushless motor).

Mô hình hóa động cơ DC:

Vì các động cơ DC được dùng rất nhiều trong các hệ điều khiển ta cần quan tâm tới việc thiếp lập 1 mô hình toán học cho chúng.

Sau đây ta khai triển mô hình toán học cho 2 lọai động cơ DC kích từ riêng và loại kích từ bằng nam châm vĩnh cữu (PM.motor).

• Động cơ DC kích từ riêng:

Phần ứng được mô hình hóa như là 1 mạch với điện trở Ra, nối tiếp với 1 cuộn cảm La. Một nguồn điện thế Eb biểu diễn cho sức điện động sinh ra trong phần ứng khi rotor quay.

Phần cảm được biểu diễn bằng 1 điện trở Rf nối tiếp với 1 cuộn điện cảm Lf . Từ thông trong khe từ là rỗng.

Các biến số và thông số tóm tắt như sau:

Ea(t): điện thế phần ứng.

Ef(t): điện thế phần cảm.

Ra: điện trở phần ứng.

Eb(t): suất điện động trong phần ứng.

Rf: điện trở phần cảm.

La: điện cảm phần ứng.

Lf: điện cảm phần cảm.

I a(t): dòng điện phần ứng.

I f(t): dòng điện phần cảm.

Ki: hằng số moment.

Kb: hằng số suất điện động phần ứng.

Tm(t): moment được khai triển bởi động cơ.

Jm: quán tính của rotor.

Bm: hệ số ma sát trượt.

θm(t): size 12{θ rSub { size 8{m} } ( t ) :} {} góc dời của rotor.

ωm(t): size 12{ω rSub { size 8{m} } ( t ) :} {}vận tốc dài của rotor.

TL(t): moment tải.

Giả sử ef(t) được cung cấp 1 cách hiệu quả để cho if(t) không đổi. Sự điều khiển được đặt lên 2 đầu phần ứng dưới dạng điện thế ea(t). Và để phân giải tuyến tính ta giả sử thêm:

1- Từ thông ở khe từ thì tỷ lệ với dòng điện cảm.

2- Moment khai triển bởi động cơ thì tỷ lệ với từ thông trong khe từ và dòng điện ứng .

Vì K mKf If là hằng số, nên:

Tm(t)=Ki ia(t) (5.65)

Ki là hằng số moment.

Bắt đầu với điện thế điều khiển ở ngõ vào các phương trình nhân quả của hệ được viết lại:

dia(t)dt=1Laea(t)−RaLaia(t)−1Laeb(t) size 12{ { { ital "di" rSub { size 8{a} } ( t ) } over { ital "dt"} } = { {1} over {L rSub { size 8{a} } } } e rSub { size 8{a} } ( t ) - { {R rSub { size 8{a} } } over {L rSub { size 8{a} } } } i rSub { size 8{a} } ( t ) - { {1} over {L rSub { size 8{a} } } } e rSub { size 8{b} } ( t ) } {} (5.66)

Tm(t)=Ki ia(t) (5.67)

eb(t)=Kbdθm(t)dt=Kbωm(t) size 12{e rSub { size 8{b} } ( t ) =K rSub { size 8{b} } { {dθ rSub { size 8{m} } ( t ) } over { ital "dt"} } =K rSub { size 8{b} } ω rSub { size 8{m} } ( t ) } {} (5.68)

d2θm(t)dt2=1JmTm(t)−1JmTL(t)−BmJmdθm(t)dt size 12{ { {d rSup { size 8{2} } θ rSub { size 8{m} } ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } = { {1} over {J rSub { size 8{m} } } } T rSub { size 8{m} } ( t ) - { {1} over {J rSub { size 8{m} } } } T rSub { size 8{L} } ( t ) - { {B rSub { size 8{m} } } over {J rSub { size 8{m} } } } { {dθ rSub { size 8{m} } ( t ) } over { ital "dt"} } } {} (5.69)

Trong đo,ù TL(t) là moment tải(cản). Một cách tổng quát TL(t) biểu diễn 1 moment mà động cơ phải vuợt quá mới có thể thay đổi được. TL(t) cũng có thể là moment ma sát không đổi thí dụ ma sát culomb.

* Các phương trình (5.66) đến (5.69) là nguyên nhân của các nguyên nhân.

Phương trình (5.56) xem diat)/dt là hậu quả trung gian do ea(t) gây ra. Trong phương trình (5.57) ia(t) tạo nên moment Tm(t).

Phương trình (5.68) định nhgĩa suất điện động phần ứng và cuối cùng trong phương trình (5.69) moment gây ra góc dời m.

Các biến số trạng thái của hệ có thể được định nhgĩa là m , Wm và ia.

Các phương trình trạng thái của động cơ DC , được viết dưới dạng ma trận (5.70):

{}

dia(t)dtdωm(t)dtdθm(t)dt=−RaLa−KbLa0KiJm−BmJm0010.ia(t)ωm(t)θm(t)+1La00.ea(t)−01Jm0.TL(t) size 12{ left [ matrix { { { ital "di" rSub { size 8{a} } ( t ) } over { ital "dt"} } {} ## { {dω rSub { size 8{m} } ( t ) } over { ital "dt"} } {} ## { {dθ rSub { size 8{m} } ( t ) } over { ital "dt"} } } right ]= left [ matrix { { { - R rSub { size 8{a} } } over {L rSub { size 8{a} } } } {} # { { - K rSub { size 8{b} } } over {L rSub { size 8{a} } } } {} # 0 {} ## { {K rSub { size 8{i} } } over {J rSub { size 8{m} } } } {} # { { - B rSub { size 8{m} } } over {J rSub { size 8{m} } } } {} # 0 {} ## 0 {} # 1 {} # 0{} } right ] "." left [ matrix { { {i rSub { size 8{a} } ( t ) } over {} } {} ## { {ω rSub { size 8{m} } ( t ) } over {} } {} ## θ rSub { size 8{m} } ( t ) } right ]+ left [ matrix { { {1} over {L rSub { size 8{a} } } } {} ## { {0} over {} } {} ## 0 } right ] "." e rSub { size 8{a} } ( t ) - left [ matrix { { {0} over {} } {} ## { {1} over {J rSub { size 8{m} } } } {} ## 0 } right ] "." T rSub { size 8{L} } ( t ) } {} (5.70)

Nhớ là trong trường hợp này TL(t) là input thứ 2 trong các phương trình trạng thái.

Đồ hình trạng thái của hệ được vẽ ở hình H.5_27, bằng cách dùng phương trình (5.70).

Hàm chuyển giữa độ dời và điện thế suy được từ đồ hình trạng thái.

θm(s)Ea(s)=KiLaJmS3+(RaJm+BmLa)S2+(KbKi+RaBm)S size 12{ { {θ rSub { size 8{m} } ( s ) } over {E rSub { size 8{a} } ( s ) } } = { {K rSub { size 8{i} } } over {L rSub { size 8{a} } J rSub { size 8{m} } S rSup { size 8{3} } + ( R rSub { size 8{a} } J rSub { size 8{m} } +B rSub { size 8{m} } L rSub { size 8{a} } ) S rSup { size 8{2} } + ( K rSub { size 8{b} } K rSub { size 8{i} } +R rSub { size 8{a} } B rSub { size 8{m} } ) S} } } {} (5.71)

Trong đó TL đặt ở Zero.

Một sơ đồ khối của hệ thống được trình bày như hình H.5_22.