Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa

1.Định nghĩa

Cho hai vectơ (vec{a}) và (vec{b})  khác vectơ (vec{0}). Tích vô hướng của (vec{a}) và (vec{b}) là một số được ký hiệu là (vec{a}).(vec{b}), được xác định bởi công thức sau :

(vec{a} .vec{b} = |vec{a}|.|vec{b}|cos(vec{a}, vec{b})) 

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ (vec{a}), (vec{b}), (vec{c}) bất kì và mọi số (k) ta có :

(vec{a}) .(vec{b}) =  (vec{b}).(vec{a}) (tính chất giao hoán)

(vec{a}).( (vec{b}) + (vec{c})) =  (vec{a}). (vec{b}) + (vec{a}). (vec{c}) ( tính chất phân phối)

((k.vec{a})).(vec{b}) =  (k(vec{a}), (vec{b})) = (vec{a})(.(kvec{b}))

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ ((0; vec{i}; vec{j})), cho hai vec tơ (overrightarrow a =({a_1};{a_2})), (overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})). Khi đó tích vô hướng (vec{a}) và (vec{b}) là:

(overrightarrow a .overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2})

 Nhận xét: Hai vectơ (overrightarrow a =({a_1};{a_2})), (overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})) khác vectơ (vec{0}) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$$       

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ  (overrightarrow a =({a_1};{a_2})) được tính theo công thức:

(vec{a} = sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}})

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu (overrightarrow a =({a_1};{a_2})), (overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})) khác vectơ (vec{0}) thì ta có:

(cos(vec{a}, vec{b}) = frac{vec{a}.vec{b}}{|vec{a|.|vec{b}}|} = frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}})

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm (A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})) được tính theo công thức :

(AB = sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}})