Bài tập 3 - Trang 121 - SGK Giải tích 12

Bài tập 3 - Trang 121 - SGK Giải tích 12

3. Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng

Bài 3. Parabol (y = {{{x^2}} over 2}) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính (2sqrt2) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn đã cho có phương trình ({x^{2}} + { m{ }}{y^2} = { m{ }}8)

Từ đó ta có: (y =  pm sqrt {8 + {x^2}} )

Tọa độ giao điểm của ((C)) và ((P)) thỏa mãn hệ: 

(left{ matrix{
{x^2} = 2y hfill cr
{x^2} + {y^2} = 8 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 hfill cr
{x^2} = 2y hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
y = 2 hfill cr
x = pm 2 hfill cr} ight.)

(S_1 = 2int_0^2 {left( {sqrt {8 - {x^2}}  - {{{x^2}} over 2}} ight)} d{ m{x}})

(= 2intlimits_0^2 {sqrt {8 - {x^2}} dx - left[ {{{{x^3}} over 3}} ight]} left| {_0^2 = 2intlimits_0^2 {sqrt {8 - {x^2}} } dx - {8 over 3}} ight.)

Đặt (x = 2sqrt 2 sin t Rightarrow dx = 2sqrt 2 {mathop{ m costdt} olimits} )

Đổi cận: (eqalign{
& x = 0 Rightarrow t = 0 cr
& x = 2 Rightarrow t = {pi over 4} cr} )

({S_1} = 2intlimits_0^{{pi  over 4}} {sqrt {8 - 8{{sin }^2}t} .2sqrt 2 { m{costdt - }}{8 over 3}} )

( = 16intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{cos }^2}tdt - {8 over 3}} )( = 8intlimits_0^{{pi  over 4}} {(1 + cos2t)dt - {8 over 3}} )

(= [8t + 4sint2t]|_0^{{pi  over 4}} - {8 over 3} = 2pi  + {4 over 3})

Diện tích hình tròn là: (pi R^2=8pi)

và  ({S_2} = 8pi  - {S_1}=6pi+{4over 3}.)

Vậy  ({{{S_2}} over {{S_1}}} = {{9pi  - 2} over {3pi  + 2}}).

soanbailop6.com