Lý thuyết Tích của vectơ với một số (Tiếp)

5. Điều kiện để một điểm là trọng tâm của tam giác.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Hệ quả. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Với M là điểm tùy ý.

6. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Định lí 2: Cho a→ ,b→ là hai vectơ không cùng phương, x→ là vectơ bất kì. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số (m, n) sao chox→ = ma→ + nb→.

Hệ quả.

i. Giả sử có hai vectơ a→ và b→ không cùng phương.

Nếu ma→ + nb→ =m'a→ + n'a→ thì m = m’, n = n’

Đặc biệt, nếu ma→ + na→ = 0→ thì m = n = 0.

ii. Hai vectơ a→ và b→ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại m, n không đồng thời bằng 0 sao cho ma→ + na→ = 0→ (suy trực tiếp từ định lí 2 và hệ quả i).

7. Kiến thức mở rộng.

Điều kiện cùng hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a→ ,b→ khác 0→. Khi đó:

Hệ quả. Nếu điểm M thuộc đoạn AB thì:

Mở rộng quy tắc trung điểm

Định lý 3. Giả sử điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ≠ 1), tức là MA→ =kMB→.

Khi đó với mọi điểm O ta có

Nhận xét. Khi k = – 1 (M là trung điểm của AB), ta thấy lại quy tắc trung điểm.

Hệ quả. Từ (4) nếu đặt

ta có kết quả sau:

- Nếu OM→ = αOA→ + βOB→ ,α+β=1 thì ba điểm A, B, M thẳng hàng.

- Nếu A, B, M thẳng hàng, O không thuộc đường thẳng AB và thỏa mãn OM→=αOA→+βOB→ thì α+β=1.

Công thức thu gọn

Định lý 4. Cho đoạn thẳng AB và hai số thực α, β sao cho α + β ≠ 0. Khi đó: tồn tjai duy nhất điểm I sao cho αIA→+βIB→=0→

Nhận xét. Với điểm O bất kì ta có:

Công thức này được gọi là công thức thu gọn.

Với α =1 , β = – k ta có công thức (4); Với α = 1, β = 1 ta có công thức trung điểm.

Trọng tâm của tứ giác

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, AB, CD. G là giao điểm của MN và PQ. Khi đó G được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD.

Trọng tâm của tứ giác có các tính chất sau: