Lý thuyết nhị thức Niu – Tơn: Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp...

A. Tóm tắt kiến thức:

I. Công thức nhị thức Niu – Tơn:

1. Công thức nhị thức Niu – Tơn:

Với (a, b) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên (n ≥ 1), ta có:

({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … +)

(C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}(1))

2. Quy ước:

Với (a) là số thực khác (0) và (n) là số tự nhiên khác (0), ta quy ước:

                (a^0 = 1); (a^{-n}= {1 over {{a^n}}}).

3. Chú ý:

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện (a) và (b) đều khác (0), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

({left( {a + b} ight)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k} = sumlimits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n – k}}} } )

II. Tam giác Pascal:

1. Tam giác Pascal là tam giác số ghi trong bảng (SGK)

2. Cấu tạo của tam giác Pascal:

– Các số ở cột ) và ở “đường chéo” đều bằng (1).

– Xét hai số ở cột (k) và cột (k + 1), đồng thời cùng thuộc dòng (n), ((k ≥ 0; n ≥1)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột (k + 1) và dòng (n + 1).

3. Tính chất của tam giác Pascal:

Từ cấu tạo của tam giác Pascal, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng (n) và cột (k) là (C_n^k)

b) Các số của tam giác Pascal thỏa mãn công thức Pascal:

(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1})

c) Các số ở dòng (n) là các hệ số trong khai triển của nhị thức ({(a + b)}^n) (theo công thức nhị thức Niu – Tơn), với (a, b) là hai số thực tùy ý. Chẳng hạn, các số ở dòng (4) là các hệ số trong khai triển của ((a + b)^4) (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

({left( {a{ m{ }} + { m{ }}b} ight)^4} = { m{ }}{a^4} + { m{ }}4{a^3}b{ m{ }} + { m{ }}6{a^2}{b^{2}} + { m{ }}4a{b^3}{ m{ }} + { m{ }}{b^4}).