Lý thuyết Bài 2: Mặt cầu

1. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu

1. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r và thường được kí hiệu là S(O;r)

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và điểm M bất kì trong không gian. Khi đó:

- Nếu MO = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu S(O;r) hoặc điểm M thuộc mặt cầu S(O;r) hoặc mặt cầu S(O;r) đi qua điểm M.

- Nếu OM < r thì ta nói điểm M nằm trong mặt cầu S(O;r).

- Nếu OM > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r).

2. Mặt cầu là một mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay xung quanh trục là đường kính của nửa đường tròn đó. Giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là các đường kinh tuyến của mặt cầu. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

3. Khối cầu tâm O bán kính r là phần không gian được giới hạn bởi mặt cầu S(O;r) và cả phần mặt cầu S(O;r).

2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Đặt h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Ta có cấc trường hợp sau:

- Nếu h > r thì mặt phẳng (P) và mặt cầu không có điểm chung. Ta nói mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.

- Nếu h = r thì mặt phẳng (P) và mặt cầu chỉ có một điểm chúng duy nhất là H. Ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H (được gọi là tiếp điểm). Khi đó ta cũng có OH ⊥ (P) và (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

- Nếu h < r thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn (C) tâm H, có bán kính r’ với

Đặc biệt khi h = 0, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r’ = r.

3. Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng Δ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên Δ. Đặt h = OH là khoảng cách từ O đến Δ. Khi đó ta có các trường hợp sau:

- Nếu h > r thì đường thẳng Δ không có điểm chung với mặt cầu hay ta nói đường thẳng Δ không cắt mặt cầu.

- Nếu h = r thì đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung duy nhất với mặt cầu là điểm H (được gọi là tiếp điểm). Khi đó ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm H. Đường thẳng Δ được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. Ta cũng có OH ⊥ Δ.

- Nếu h < r thì đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó H là trung điểm của AB và

Chú ý:

- Qua một điểm A bất kì trên mặt cầu S(O;r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến đó đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu và đều nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại A. Mặt phẳng tiếp xúc này vuong góc với đường thẳng OA tại A.

- Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đó. Khi đó độ dài các đoạn kẻ từ M đến các tiếp điểm đều bằng nhau. Tất cả các tiếp tuyến này tạo nên một mặt nón tròn xoay có đỉnh là M và có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu.

4. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Gọi S là diện tích mặt cầu bán kính r, ta có công thức: S = 4πr²

- Gọi V là thể tích khối cầu bán kính r, ta có công thức:

5. Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình đa diện

1. Ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện.

2. Ta nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu đó.

3. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.

4. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn. Khi đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy của lăng trụ.