Lí thuyết tích phân

Lí thuyết tích phân

1. Tích phân và tính chất

1. Tích phân và tính chất

Định nghĩa. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

Kí hiệu là : (int_a^b f (x)dx)

Vậy ta có :(int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b)

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: (int_a^a f (x)dx = 0)

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: (int_a^b f (x)dx =  - int_b^a f (x)dx))

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

(int_a^b f (x)dx = int_b^a f (t)dt) = int_a^b f (u)du = ...) (vì đều bằng F(b) - F(a))

Tính chất của tích phân:

(int_a^b k f(x)dx = kint_a^b f (x)dx)  ( với k là hằng số)

(int_a^b {left[ {fleft( x ight) pm gleft( x ight)} ight]} d{ m{x}} = int_a^b {fleft( x ight)} d{ m{x}} pm int_a^b {gleft( x ight)} d{ m{x}})

(int_a^b f (x)dx = int_a^c f (x))dx + int_c^b f (x)dx) (với a<b<c)

2. Phương pháp tinh tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:

(int_a^b f (x)dx = int_alpha ^eta  f (psi (t))psi '(t)dt)

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u^’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

(int_a^b f (xdx) = int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du)

b) Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

(int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - int_a^b {u'} (x)v(x)dx)

hay (int_a^b u dv = uv|_a^b - int_a^b v du)

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : (int_a^b f (x)dx ge 0)

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

(int_a^b g (x)dx le int_a^b f (x)dx). Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

      (m(b - a) le int_a^b f (x)dx le M(b - a))