Họ các nhóm điểm T, Th, Td

Họ này có ba nhóm, trong đó T và T_d là các nhóm đối xứng của hình tứ diện đều, còn T_h có một số yếu tố là các phép đối xứng của hình tứ diện đều.

1) Nhóm các phép quay không làm thay đổi vị trí củ một hình tứ diện đều, mà chỉ làm cho các đỉnh của nó đổi chỗ cho nhau, gọi là nhóm T. Để thấy được rõ hơn các phép quay nào là phép quay đối xứng của hình tứ diện đều ta vẽ hình này lồng vào trong một hình lập phương (hình 3.18a).

Trong các phép quay C₂ quanh ba trục quay mà mỗi trục đi qua tâm điểm O của hình lập phương và qua hai tâm điểm của hai hình vuông là hai mặt bên song song với nhau của hình lập phương thì tứ diện đều không thay đổi vị trí. Hình tứ diện đều cũng đối xứng với các phép quay C₃ và C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {}quanh bốn trục quay đi qua tâm điểm O của hình lập phương và bốn cặp đỉnh xuyên tâm đối của nó. Các trục quay này đi qua tâm điểm của các hình tam giác đều là các mặt bên của hình tứ diện đều. Vậy nhóm T có 12 yếu tố sau đây: E, 3C₂, 4C₃, 4 C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {}. Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C₂ và bốn trục quay C₃. Để lập bảng nhân nhóm ta hãy viết ra các ma trận của các phép quay thuộc nhóm T. Từ tâm điểm O của hình lập phương ta hãy kẻ ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz trực giao với ba mặt bên kề nhau của hình lập phương và vẽ ba vectơ đơn vị ex, ey, ez dọc theo ba trục tọa độ này. Các trục tọa độ đồng thời là ba trục quay C₂ của nhóm T. Ta ký hiệu các phép quay tương ứng là C₂(e_x) C₂(e_y) C₂(e_z). Các phép quay này biến đổi các vectơ đơn vị như sau:

C₂ (e_x ) : e_x → size 12{ rightarrow } {} e_x , e_y → size 12{ rightarrow } {} e_y , e_z → size 12{ rightarrow } {} e_z ;

C₂ (e_y ) : e_x → size 12{ rightarrow } {} - e_x , e_y → size 12{ rightarrow } {} e_y , e_z → size 12{ rightarrow } {} - e_z ;

C ₂ (e z ) : e x → size 12{ rightarrow } {} - e x , e y → size 12{ rightarrow } {} - e y , e z → size 12{ rightarrow } {} e z .

Do đó các phép quay này có các ma trận sau đây:

Ta chọn vectơ

n₁ = x + y + z

làm một trục quay C₃ (hình 3.18b) và ký hiệu các phép quay của nhóm C₃ quanh trục này là C₃(n₁) và C₃(n₁)² = C₃(n₁)^-1. Sau mỗi phép quay C₂(e_x) C₂(e_y) C₂(e_z) vectơ n₁ chuyển thành các vectơ sau đây:

C₂(e_x) : n₁→ size 12{ rightarrow } {}n₂ = e_x + (- e_y) + (-e_z);

C₂(ey) : n₁→ size 12{ rightarrow } {}n₃ = (-e_x) + e_y + (-e_z);

C₂(ez) : n₁→ size 12{ rightarrow } {}n₄ = (-e_x) + (- e_y) + e_z .

Bốn vectơ n₁, n₂, n₃, n₄ là bốn trục quay C₃ của nhóm T. Trong các phép quay C₃ quanh bốn trục này các vectơ đơn vị biến đổi như sau:

C₃ (n₁) : e_x → size 12{ rightarrow } {} e_y, e_y → size 12{ rightarrow } {} e_z , e_z → size 12{ rightarrow } {} e_x ,

C₃ (n₂ ) : e_x → size 12{ rightarrow } {} - e_y , e_y → size 12{ rightarrow } {} e_z , e_z → size 12{ rightarrow } {} - e_x ,

C₃ (n₃ ) : e_x → size 12{ rightarrow } {} - e_y , e_y → size 12{ rightarrow } {} - e_z , e_z → size 12{ rightarrow } {} e_x ,

C₃ (n₄) : e_x→ size 12{ rightarrow } {}e_y, e_y→ size 12{ rightarrow } {}- ez, e_z→ size 12{ rightarrow } {}- e_x.

Vậy các phép quay C₃ của nhóm T có các ma trận

Lấy bình phương các ma trận (28), ta thu được ma trận của các phép quay C32=C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } `=`C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}cụ thể là

Bằng cách nhân các ma trận xác định bởi các công thức (27), (28), (29) từng đôi một, ta suy ra các quy tắc nhân nhóm. Thí dụ

Cuối cùng ta hãy xét xem nhóm T gồm bao nhiêu lớp các yếu tố liên hợp, và đó là những lớp nào. Yếu tố đơn vị E là một lớp. Để tìm lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố C₂(e_x) ta hãy dùng các biểu thức (27), (28), (29) của các yếu tố của nhóm T và tính tất cả các tích có dạng g ^-1C₂(e_x) với mọi yếu tố g của nhóm này. Thí dụ như nếu ta lấy g là C₃(n₁), C₃(n₂), C₃(n₃), C₃(n₄) thì ta có

còn nếu lấy g là C₃(n₁)^-1, C₃(n₂)^-1, C₃(n₃)^-1, C₃(n₄)^-1 thì ta thu được

Ngoài ra từ các hệ thức (30a) ta có ngay

Các biểu thức (31a) – (31c) của các yếu tố g ^-1C₂(e_x)g cũng như các biểu thức của các yếu tố g ^-1C₂(e_y)g và g ^-1C₂(e_z) g mà ta có thể xác lập một cách tương tự chứng tỏ rằng ba phép quay C₂ là C₂(e_x), C₂(e_y), C₂(e_z) tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Để tìm lớp các yếu tố liên hợp với C₃(n₁) ta hãy tính tất cả các tích có dạng g^-1C₃(n₁)g với mọi yếu tố g của nhóm T. Ta có

Các hệ thức trên chứng tỏ rằng bốn phép quay C₃ là C₃(n₁), C₃(n₂), C₃(n₃), C₃(n₄) liên hợp với nhau và tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Lấy nghịch đảo cả hai vế của mỗi hệ thức trong số tất cả các hệ thức (32a), (32b), (32c) ta thu được các hệ thức chứng tỏ rằng bốn phép quay C32=C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } `=`C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} là C₃(n₁)^-1, C₃(n₂)^-1, C₃(n₃)^-1, C₃(n₄)^-1 liên hợp với nhau và tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Vậy nhóm T chia thành bốn lớp các yếu tố liên hợp;

C₁ = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {} , C₂ = C 2 ( e x ) C 2 ( e y ) C 2 ( e z ) size 12{ left lbrace C rSub { size 8{2} } ( e rSub { size 8{x} } ) " C" rSub { size 8{2} } ( e rSub { size 8{y} } ) " C" rSub { size 8{2} } ( e rSub { size 8{z} } ) right rbrace } {} ,

C₃ = C 3 ( n 1 ) , C 3 ( n 2 ) , C 3 ( n 3 ) , C 3 ( n 4 ) size 12{ left lbrace C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{1} } ) ,`C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{2} } ) ,`C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{3} } ) ,`C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{4} } ) right rbrace } {} ,

C 4 = C 3 ( n 1 ) 2 , C 3 ( n 2 ) 2 , C 3 ( n 3 ) 2 , C 3 ( n 4 ) 2 size 12{ left lbrace C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{1} } ) rSup { size 8{2} } ,`C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{2} } ) rSup { size 8{2} } ,`C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{3} } ) rSup { size 8{2} } ,`C rSub { size 8{3} } ( n rSub { size 8{4} } ) rSup { size 8{2} } right rbrace } {} ,

Ta cũng có thể thu được kết quả này một cách nhanh chóng mà không cần phải sử dụng hang loạt công thức (30a)-(32c), nếu ta áp dụng mệnh đề sau đây: nếu trong một nhóm G có hai phép quay Ck(φ) size 12{C rSub { size 8{k} } ( ϕ ) } {}, Cl(φ) size 12{C rSub { size 8{l} } ( ϕ ) } {}cùng một góc φ size 12{ϕ} {}quanh hai trục k, l và một phép quay R chuyển trục nọ thành trục kia,

k = Rl, RG,

Ck(φ) size 12{C rSub { size 8{k} } ( ϕ ) } {}G, Cl(φ) size 12{C rSub { size 8{l} } ( ϕ ) } {}G,

thì hai phép quay Ck(φ) size 12{C rSub { size 8{k} } ( ϕ ) } {} và Cl(φ) size 12{C rSub { size 8{l} } ( ϕ ) } {} liên hợp với nhau. Ta có thể chứng minh mệnh đề này giống như đã chứng minh một mệnh đề tương tự đối với nhóm quay SO(3) trong Chương I. Hai trục quay k và l trong mệnh đề nói trên là hai trục quay tương đương. Trong trường hợp nhóm T ba trục quay e_x , e_y , e_z của các phép quay C₂ tương đương với nhau, bốn trục quay n₁, n₂, n₃, n₄ của các phép quay C₃ và C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {}cũng tương đương với nhau, lớp C₂ gồm ba phép quay cùng một góc π size 12{π} {} quanh ba trục tương đương, lớp C₃ gồm ba phép quay góc 2π3 size 12{ { {2π} over {3} } } {}quanh bốn trục tương đương và C₄ gồm bốn phép quay góc 4π3 size 12{ { {4π} over {3} } } {}quanh bốn trục tương đương.

2) Nhóm T_h là tích trực tiếp của nhóm T và nhóm C_i:

T_h = T ⊗ size 12{⊗} {} C_i

Nhóm này gồm 24 yếu tố: 12 phép quay không thay đổi vị trí của một hình tứ diện đều và 12 phép quay – nghịch đảo mà mỗi phép quay – nghịch đảo là tổ hợp của một phép quay nói trên và phép nghịch đảo i đối với tâm điểm của hình tứ diện. Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C₂, bốn trục quay C₃ và tâm nghịch đảo i. Nhóm T_h gồm tám lớp các yếu tố liên hợp:

C₁ = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {} , C₂ = 3C 2 size 12{ left lbrace "3C" rSub { size 8{2} } right rbrace } {} ,C₃ = 4C 3 size 12{ left lbrace "4C" rSub { size 8{3} } right rbrace } {} , C₄ = 4C 3 2 size 12{ left lbrace "4C" rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } right rbrace } {} ,

C₅ = i size 12{ left lbrace i right rbrace } {} , C₆ = 3iC 2 size 12{ left lbrace "3iC" rSub { size 8{2} } right rbrace } {} , C₇ = 4iC 3 size 12{ left lbrace "4iC" rSub { size 8{3} } right rbrace } {} , C₈ = 4iC 3 2 size 12{ left lbrace "4iC" rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } right rbrace } {} .

Vì phép nghịch đảo i không phải là phép đối xứng của hình tứ diện, mà lại chuyển hình này sang một vị trí khác, như chúng ta có thể thấy một cách dễ dàng trên hình 3.18a, cho nên T_h không phải là nhóm đối xứng của hình tứ diện.

3) Nhóm T_d gồm tất cả các phép đối xứng của hình tứ diện và được gọi là nhóm tứ diện (tetrahedral). Các yếu tố của nhóm T đều là các yếu tố của nhóm T_d, do đó T là nhóm con của nhóm T_d. Nhìn hình vẽ 3.18a ta thấy ngay rằng nếu ta lấy ba trục C₄ trùng với ba trục C₂ của nhóm T, thực hiện phép quay C₄ hoặc C43=C4−1 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3`} } `=`C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1`} } } {}quanh các trục này rồi thực hiện tiếp luôn phép nghịch đảo i, thì sau cả hai phép biến đổi liên tiếp đó hình tứ diện đều trở về vị trí cũ. Vậy mỗi tổ hợp của phép quay C₄ hoặc C4−1 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1`} } } {} với phép nghịch đảo i là một phép đối xứng của hình tứ diện đều và do đó là một yếu tố của nhóm T_d. Ta hãy tưởng tượng là có một mặt phẳng σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}chứa hai đường chéo song song với nhau của hai hình vuông là hai mặt bên song song với nhau của hình lập phương. Nhìn hình vẽ 3.18a ta thấy ngay rằng mặt phẳng σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {} này chứa một cạnh của hình tứ diện đi qua trung điểm của một cạnh khác không có đỉnh chung với nó và chia hình tứ diện thành hai phần đối xứng với nhau. Có tất cả sáu mặt phẳng gương loại này. Sáu phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {} qua sáu mặt phẳng gương đó cũng là sáu yếu tố của nhóm T_d. Vậy nhóm T_d có 24 yếu tố E, 3C₂, 4C₃, 4C3−1 size 12{4C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}, 3iC4 size 12{3 ital "iC" rSub { size 8{4} } } {}, 3iC43 size 12{3 ital "iC" rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } } {}, 6σd size 12{6σ rSub { size 8{d} } } {}. Chú ý rằng giữa các phép quay C_n, Cn−1 size 12{C rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ - 1} } } {} quanh một mặt phẳng chứa trục quay ta có hệ thức

Vì trong nhóm T_d có các phép phản xạ gương chứa trục quay cho nên các phép quay C₃ và C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}liên hợp nhau, các phép quay – nghịch đảo iC₄ và iC43 size 12{ ital "iC" rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } } {}liên hợp với nhau. Do đó nhóm T_d gồm năm lớp các yếu tố liên hợp:

C₁ = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {} , C₂ = 3C 2 size 12{ left lbrace "3C" rSub { size 8{2} } right rbrace } {} ,C₃ = 8C 3 size 12{ left lbrace "8C" rSub { size 8{3} } right rbrace } {} = 4C 3 4C 3 -1 size 12{ left lbrace "4C" rSub { size 8{3} } "4C" rSub { size 8{3} } rSup { size 8{"-1"} } right rbrace } {} ,

C₄ = 6iC 4 size 12{ left lbrace "6iC" rSub { size 8{4} } right rbrace } {} = 3iC 4 , 3iC 4 3 size 12{ left lbrace "3iC" rSub { size 8{4} } ,`"3iC" rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } right rbrace } {} , C₅ = 6σ d size 12{ left lbrace 6σ rSub { size 8{d} } right rbrace } {} .

Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C₂, ba trục quay – nghịch đảo iC₄, bốn trục quay C₃ và sáu mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}.