Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci

Trong họ này có 15 nhóm điểm tinh thể học sau đây,

1) Nhóm C₁ chỉ gồm có một yếu tố đơn vị E. Không có yếu tố đối xứng nào, Phàn tử hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng.

2) Nhóm Ci là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép nghịch đảo i. Chỉ có một yếu tố đối xứng là tâm nghịch đảo i.

3) Nhóm C₁h = C₁v là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép phản xạ gương σ size 12{σ} {}. Chỉ có một yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương σ size 12{σ} {}. Vì không có trục quay nên ta không phân biệt được mặt phẳng gương là thẳng đứng hay nằm ngang.

4) Nhóm C₂ là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép quay C₂ góc π size 12{π} {}quanh một trục nào đó, C2−1 size 12{C rSub { size 8{2} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = C₂, C22 size 12{C rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } } {} = E. Có một yếu tố đối xứng là trục quay C₂.

5) Nhóm C_2h gồm hai yếu tố E, C₂ của nhóm quay C₂, phép phản xạ gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Tổ hợp của phép quay C₂ quanh trục Oz.

với phép phản xạ gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} qua mặt phẳng gương xOy

chính là phép nghịch đảo i

không phụ thuộc vào thứ tự của chúng,

Vậy nhóm C₂h là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C₂, σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}, i với bảng nhân nhóm sau đây

Bảng nhân nhóm C₂h

Các yếu tố đối xứng của nhóm C₂h là: trục quay C₂, mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} và tâm nghịch đảo i là giao điểm của chúng. Nhóm C₂ là nhóm con của nhóm C₂h.

6) Nhóm C₂v gồm các yếu tố E, C₂ của nhóm quay C₂, phép phản xạ gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} qua một mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} và các tổ hợp của chúng. Ký hiệu mặt phẳng gương chứa trục quay và trục giao với mặt phẳng σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} và σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}. Nếu trục quay là Oz

C₂ : (x, y, z) → size 12{ rightarrow } {} (-x, -y, -z).

mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} là mặt phẳng xOz

Thì mặt phẳng gương σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} là mặt phẳng yOz

Dễ thử lại rằng

Vậy nhóm C₂vlà nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C₂, σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} và σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} với bằng nhân nhóm sau đây

Bảng nhân nhóm C_v2

Có ba yếu tố đối xứng: trục quay C₂ và hai mặt phẳng gương chứa trục quay σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}trực giao với nhau. Nhóm C₂ là nhóm con của nhóm C₂v.

7) Nhóm giao hoán C₃ là nhóm vòng sinh ra bởi phép quay C₃ một góc 2π3 size 12{ { {2π} over {3} } } {}quanh một trục nào đó. Yếu tố C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {} là phép quay góc 4π3 size 12{ { {4π} over {3} } } {}quanh trục này, nó trùng với phép quay C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}góc −2π3 size 12{ - { {2π} over {3} } } {}quanh trục đã cho. Ta có

C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {} = C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}, C33 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{3} } } {} = E

Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay C₃.

8) Nhóm C₃h là nhóm giao hoán gồm ba yếu tố E, C₃, C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {} = C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} của nhóm con C₃, phép phản xạ gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Có hai yếu tố đối xứng là trục quay C₃ và mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} trực giao với nhau.

9) Nhóm C₃v gồm ba yếu tố E, C₃, C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} của nhóm con C₃ và ba phép phản xạ gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}qua ba mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}, mặt phẳng σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}thu được từ mặt phẳng σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} sau khi thực hiện phép quay C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {} = C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} , tức là thu được từ mặt phẳng σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {} sau khi thực hiện phép quay C₃. Chú ý tằng vì các phép quay của mặt phẳng σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} thì phải có nốt hai mặt phẳng kia. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C₃ và ba mặt phẳng gương chứa trục quay σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} chuyển chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm con C₃. Chọn trục quay C₃ làm trục Oz và mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} làm mặt phẳng tọa độ xOz. Trên hình 3.3 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox’, Ox’’ của mặt phẳng tọa độ xOy với ba mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} . Các trục Ox’ và Ox’’ tạo với trục Ox các góc bằng 2π3 size 12{ { {2π} over {3} } } {} và 4π3 size 12{ { {4π} over {3} } } {}. Xét một điểm trên mặt phẳng xOy mà bán kính vectơ R của nó tạo với trục Ox một góc ϕ size 12{ϕ} {}(giá trị đại số tính theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ). Trong phép phản xạ gương qua mặt σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} bán kính vectơ R chuyển thành bán kính vectơ Rσ size 12{R rSub { size 8{σ} } } {}tạo với trục Ox góc - φ size 12{ϕ} {} (xem hình 3.4)

Ta viết

Xét phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {}. Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’ góc φ size 12{ϕ} {}−2π3 size 12{ - { {2π} over {3} } } {}. Trong phép phản xạ gương σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {} nó chuyển thành bán kính vectơ Rσ' size 12{R rSub { size 8{σ'} } } {}tạo với trục Ox’ góc -(φ−2π3 size 12{ left (" -" ( ϕ- { {2π} over {3} } right )} {}(xem hình 3.5). Do đó ta có

σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{'} } } {} : ϕ−2π3 size 12{ϕ- { {2π} over {3} } } {}→ size 12{ rightarrow } {}-( ϕ−2π3 size 12{ϕ- { {2π} over {3} } } {}) = −ϕ+2π3 size 12{ - `ϕ+ { {2π} over {3} } } {}

nghĩa là

Chú ý rằng ta có thể thêm vào góc φ size 12{ϕ} {} hoặc bớt đi từ góc này một đại lượng là bội số của 2π size 12{2π} {}, do đó - φ size 12{ϕ} {}+ 4π3 size 12{ { {4π} over {3} } } {} và - ϕ−2π3 size 12{ϕ- { {2π} over {3} } } {} là cùng một góc. Với phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}(xem hình 3.6) ta có kết quả sau đây: Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’’ góc φ size 12{ϕ} {}- 4π3 size 12{ { {4π} over {3} } } {} tức là φ+2π3 size 12{ϕ+ { {2π} over {3} } } {}. Phép phản xạ gương σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}chuyển nó thành bán kính vectơ Rσ' size 12{R rSub { size 8{σ"'"} } } {} tạo với góc Ox’’ góc -( φ+2π3 size 12{ϕ+ { {2π} over {3} } } {}) . Ta có

σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} : φ+2π3 size 12{ϕ+ { {2π} over {3} } } {}→ size 12{ rightarrow } {} -( φ+2π3 size 12{ϕ+ { {2π} over {3} } } {}) = - φ−2π3 size 12{ϕ- { {2π} over {3} } } {}

nghĩa là

Còn trong các phép quay C₃ và C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {} = C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}góc ϕ size 12{ϕ} {}thay đổi như sau

Chú ý rằng các phép phản xạ gương và phép quay C₃ có tính chất

σv2 size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{2} } } {} = σ'v2 size 12{σ' rSub { size 8{v} } rSup { size 8{2} } } {}= σ'v2 size 12{σ"'" rSub { size 8{v} } rSup { size 8{2} } } {} = C33 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{3} } } {}= E

Dùng tính chất này và các công thức (22a), (22b), (22c), (23a), (23b), ta suy ra các hệ thức sau đây:

Do đó ta có ngay

Từ các hệ thức này ta lại thu được các hệ thức mới

Vậy với nhóm C_3v ta có bảng nhân nhóm sau đây

Bảng nhân nhóm C _3v

Cuối cùng ta xét từng yếu tố và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố đã cho. Ta nhắc lại rằng nếu a là một yếu tố nào đó của một nhóm G thì tất cả các yếu tố gag ^-1 với mọi yếu tố g của G tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a. Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag ^-1 đều trùng với E. Vậy chính yếu tố đơn vị E là một lớp. Ta hãy lấy a là C₃. Các yếu tố liên hợp với nó là

C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} , C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} ( C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} ) ^-1 C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} ,

σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} = σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} = C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} ,

σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} = σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} = C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} ,

σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} = σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} = C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}

Vậy hai yếu tố C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} và_{C3−1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}}tạo thành một lớp yếu tố liên hợp. Còn nếu ta lấy a là σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}thì các yếu tố liên hợp với nó là

C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}

C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} ( C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} ) -1 = σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} C 3 = σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}

σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} = σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} ,

σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} = C 3 − 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} = σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}

σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} σ v size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} σ v ' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} = σ ' v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}

Vậy ba phép phản xa gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Tóm lại, nhóm C 3v size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} chia thành ba lớp các yếu tố liên hợp sau đây

C 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {}, C 2 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = C3,C3−1 size 12{ left lbrace C rSub { size 8{3} } ,`C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } right rbrace } {}, C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = σv,σ'v,σ'v size 12{ left lbrace σ rSub { size 8{v} } ,`σ' rSub { size 8{v} } ,`σ"'" rSub { size 8{v} } right rbrace } {}.

10) Nhóm giao hoán C 4 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} là nhóm vòng sinh bởi phép quay C 4 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} một góc bằng π2 size 12{ { {π} over {2} } } {} quanh một trục nào đó. Nhóm này gồm bố yếu tố khác nhau là C 4 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} , C42 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{2} } } {} = C 2 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} , C43 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } } {} = C4−1 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1} } } {} và C44 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{4} } } {}=E. Chỉ có mọt yếu tố đối xứng là trục quay C 4 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} .

11) Nhóm C 4h size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C₄, C₂, C4−1 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1} } } {}của nhóm con C₄, phép phản xạ gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}và các tổ hợp của chúng. Trong các tổ hợp này có tích σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}C₂ = C₂σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}. Theo công thức (19) đó là phép nghịch đảo i đối với giao điểm của trục quay C₄ và mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}. Vậy ngoài trục quay C₄ và mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} là hai yếu tố đối xứng cho từ trước lại còn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảo i.

12) Nhóm C 4v size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} gồm các yếu tố E, C₄, C₂, C4−1 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1} } } {} của nhóm con C₄ và các phép phản xạ gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}trong đó σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}trực giao với σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}và thu được từ σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}sau khi thực hiện phép quay C₄, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} và σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vuông giữa các mặt phẳng σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {} và σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}. Nhóm C₄v là một nhóm các phép đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy vuông. Trên hình 3.7 ta vẽ mặt đáy của hình trục đó và các giao tuyến của cac mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục Oz trùng với trục quay C₄, mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}đi qua trục Ox và σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}đi qua trục Oy. Với những lý luận giống như khi nghiên cứu về nhóm C₃v ta có thể thiết lập được bảng nhân nhóm sau đây.

Bảng nhân nhóm C 4v size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}

Các yếu tố đối xứng là: trục quay C₄ và bốn mặt phẳng gương chứa trục quay σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {}, σv' size 12{σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } } {} nói ở trên. Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta có thể nghiệm lại rằng nhóm C_4v chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp

C 1 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {}, C 2 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = C4,C4−1 size 12{ left lbrace C rSub { size 8{4} } ,`C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1} } right rbrace } {}, C 3 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = C2 size 12{ left lbrace C rSub { size 8{2} } right rbrace } {},

C 4 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = σv,σV' size 12{ left lbrace σ rSub { size 8{v} } ,`σ rSub { size 8{V} } rSup { size 8{'} } right rbrace } {}, C 5 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} = σv',σV' size 12{ left lbrace σ rSub { size 8{v} } rSup { size 8{"'"} } ,`σ rSub { size 8{V} } rSup { size 8{"'"} } right rbrace } {}.

13) Nhóm giao hoán C 6 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} là nhóm vòng sinh bởi phép quay C 6 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} một góc bằng π3 size 12{ { {π} over {3} } } {} quanh một trục nào đó và gồm sáu yếu tố sau đây: E, C 6 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {} , C62 size 12{C rSub { size 8{6} } rSup { size 8{2} } } {}=