Hệ thống tính toán và biểu diễn thông tin trong máy tính

Hệ đếm và số học nhị phân

Hệ đếm

Hệ đếm được hiểu như tập các ký hiệu và quy tắc sử dụng tập ký hiệu đó để biểu diễn và xác định giá trị các số.

Ví dụ: Hệ đếm La mã và hệ đếm thập phân

Các hệ đếm thông dụng

* Hệ đếm cơ số 10:

Dùng các số 0,1,2,...9 ( 10 công cụ )

tntn−1...t1t0¯,¯s1s2...s¯m size 12{ {overline {t rSub { size 8{n} } t rSub { size 8{n-1} } "." "." "." t rSub { size 8{1} } t rSub { size 8{0} } }} {overline {,}} {overline {s rSub { size 8{1} } s rSub { size 8{2} } "." "." "." s}} rSub { size 8{m} } } {}=t_n.10ⁿ+ t_n-1.10^n-1+...+ t₁.10¹+t₀+ s₁.10^-1+ s₂.10^-2+...+ s_m.10^-m

Trong đó: t_i,s_i ∈[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]

* Hệ đếm nhị phân, bát phân và thập lục phân:

Dùng a công cụ bắt đầu từ công cụ 0. ta có:

tntn−1...t1t0¯,¯s1s2...s¯m size 12{ {overline {t rSub { size 8{n} } t rSub { size 8{n-1} } "." "." "." t rSub { size 8{1} } t rSub { size 8{0} } }} {overline {,}} {overline {s rSub { size 8{1} } s rSub { size 8{2} } "." "." "." s}} rSub { size 8{m} } } {}= t_n.aⁿ + t_n-1.a^n-1 + ... + t₁.a¹ + t₀ + s₁.a^-1 + s₂.a^-2 +...+ s_m.a^-m

a =2 (Hệ nhị phân) ta có hai công cụ: 0,1. Tức là t_i,s_i∈[0,1]

a =8 (Hệ bát phân) ta có tám công cụ: 0,1...7 Tức là t_i, s_i ∈ [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

a =16 (Hệ thập lục phân) ta có 16 công cụ: 0,1...9,A,B,C,D,E,F

Tức là t_i,s_i∈[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F]. Các trị này tương ứng với các số từ 0 đến 15 của hệ thập phân.

* Chuyển dạng biểu diễn nhị phân sang hệ thập phân

a_n,a_n-1 ...a₀

Muốn tìm dạng biểu diễn thập phân ta tính giá trị của đa thức sau:

a_n .2ⁿ +a_n-1.2^n-1+ ...a₀.2⁰

Ví dụ: 100₍₂₎=1.2²+0.2¹+0=4₍₁₀₎

* Chuyển dạng biểu diễn thập phân sang nhị phân

Ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1:

Chia liên tiếp số x cho 2 để được dãy

x₀=x, x₁, x₂....x_n=1 (1)

Bước 2: (chẵn lẻ)

Xét dãy (1)

Nếu x_i là chẵn thì viết dưới x_i với a_i=0

Nếu x_i là lẻ thì viết dưới x_i với a_i=1

ta được dãy:

a₀, a₁, a₂.....a_n (2)

Bước 3:

Viết ngược dãy (2) ta thu được số nhị phân cần tìm là

a₀, a₁, a₂......a_n

Ví dụ viết số 11 dưới dạng nhị phân ta tiên hành

• Chia liên tiếp cho 2 được : 11 ,5 , 2, 1
• Chẵn lẻ 1 1 0 1
• Viết ngược lại 1011

Chú ý : bằng cách tương tự ta có thể chuyển hệ 8 hoặc 16 sang hệ thập phân và ngược lại

* Chuyển dạng biểu diễn từ hệ nhị phân sang dạng thập lục phân và ngược lại

Để chuyển từ hệ nhị phân sang hệ 16 ta chỉ cần nhóm 4 số từ phải sang trái ứng với giá trị bộ 4 số nhị phân ta có số hệ 16 tương ứng.

Ví dụ

1111 1010 0001=FA1

Ngược lại để chuyên từ hệ 16 sang hệ 2 ta ta viết từng bộ 4 chữ số nhị phân tương ứng với từng chữ số hệ 16

* Bảng quan hệ giữa các số hệ nhị phân và thập lục phân

Số nhị phân	Số thập lục phân	Số nhị phân	Số thập lục phân	Số nhị phân	Số thập lục phân	Số nhị phân	Số thập lục phân
0000	00	0100	04	1000	08	1100	0C
0001	01	0101	05	1001	09	1101	0D
0010	02	0110	06	1010	0A	1110	0E
0011	03	0111	07	1011	0B	1111	0F

Các phép toán cơ bản của số nhị phân

* Phép cộng

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1=10

* Phép nhân

0×0=0 0×1=0

1×0=0 1×1=1

* Phép trừ

1-1=0 0-0=0

1-0=1 10-1=1