Hàm sóng

là một công cụ toán học dùng trong cơ học lượng tử để mô tả trạng thái của một hệ vật lý bất kì. Đó là một hàm số biểu diễn các trạng thái khả dĩ của hệ bằng các số phức. Các định luật của cơ học lượng tử (phương trình Schrodinger) mô tả hàm sóng tiến triển như thế nào theo thời gian. Các giá trị của hàm sóng là các biên độ xác suất – các số phức – mà bình phương giá trị tuyệt đối của chúng xác định phân bố xác suất mà hệ sẽ tồn tại trong một trạng thái. chứa tất cả các thông tin mà ta có thể biết được về trạng thái của hệ như vị trí, vận tốc, xung lượng, mô men xung lượng, năng lượng,...của hạt và mật độ xác suất hoặc xác suất để đo được các kết quả cho một đại lượng vật lý hay biến động lực nào đó của hạt.Để thu được các thông tin về hệ người ta dùng các toán tử tác dụng lên hàm sóng.

Mật độ xác suất điện tử của một số hàm sóng orbital nguyên tử đầu tiên của nguyên tử hydro được biểu diễn dưới dạng các lát cắt

Trong cơ học lượng tử, khái niệm hàm sóng được thừa nhận như một tiên đề không thể chứng minh được và cũng không thể suy ra từ bất cứ một tiên đề nào khác. Tiên đề này được phát biểu như sau: "Trạng thái của một hệ được mô tả một cách đầy đủ bởi một hàm số gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ". Trong phát biểu này, r là tọa độ không gian của các hạt cấu thành nên hệ còn t là thời gian. Hàm số (chữ Hi Lạp Psi viết hoa) đóng vai trò trung tâm trong cơ học lượng tử, và được gọi là hàm sóng phụ thuộc thời gian của hệ. Khi chúng ta không quan tâm đến việc hệ thay đổi như thế nào theo thời gian chúng ta sẽ kí hiệu hàm sóng này bằng một chữ psi thường và gọi là hàm sóng không phụ thuộc thời gian. Trạng thái của hệ cũng có thể phụ thuộc vào một biến nội tại nào đó của các hạt chẳng hạn trạng thái spin của chúng. Chúng ta dùng từ “mô tả” ở đây với ý nghĩa là hàm sóng chứa đựng thông tin về tất cả các tính chất của hệ mà có thể xác định được bằng thực nghiệm.

là một hàm phức do đó bản thân nó hoàn toàn không có một ý nghĩa vật lý nào. Tuy nhiên trong cơ học lượng tử một quy luật ảo vẫn có thể chi phối và quyết định các hiện tượng thực. Theo cách giải thích của Max Born thì xác suất để một hạt được tìm thấy trong nguyên tố thể tích dτ tại điểm có tọa độ r tỷ lệ với trong đó nguyên tố thể tích dτ trong một chiều là dx, trong hai chiều là dxdy và trong ba chiều là dxdydz. Từ cách giải thích này chúng ta hiểu rằng là một hàm mật độ xác suất, với ý nghĩa là khi nhân nó với thể tích của một vùng không gian vô cùng nhỏ ở lân cận điểm r thì ta được xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian đó. Bản thân hàm sóng còn được gọi là một hàm biên độ xác suất. Chú ý rằng trong khi biên độ xác suất (hàm sóng) có thể là một số phức và có thể âm thì mật độ xác suất (bình phương modul của số phức) là thực và không bao giờ âm. Theo cách giải thích này, xác suất để tìm thấy hạt trong một thể tích có thể được tính theo công thức tích phân như sau: