giới thiệu về tập

G I Ớ I T H I ỆU VỀ T Ậ P

Vai trò c ủ a tập h ợ p

Lý thuyết tập hợp là một nhánh của toán học nghiên cứu về tập các đối tượng. Mặc dù bất kỳ một loại đối tượng nào tập hợp với nhau cũng tạo thành tập hợp, nhưng lý thuyết tập chỉ áp dụng cho các đối tượng liên quan trong toán học.

Lý thuyết tập hiện nay được Cantor và Dedekind đưa ra những năm 1870. Sau khi người ta tìm ra một số các nghịch lý trong lý thuyết tập, một số tiên đề đã được Zermelo–Fraenkel đưa ra nhằm hoàn thiện lý thuyết tập.

Lý thuyết tập, có thể phát biểu bằng logic vị từ cấp I, thường được coi là nền tảng cơ bản của hệ thống toán học. Ngôn ngữ lý thuyết tập được dùng để định nghĩa hầu hết các đối tượng trong toán học, ví dụ như hàm hay quan hệ.

Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết tập là các tập. Trong khi các tập là các đối tượng cơ bản dùng để định nghĩa tất cả các khái niệm khác của toán học, chúng không thể được định nghĩa thông qua các khái niệm nào khác cơ bản hơn. Như vậy, tập hợp được giới thiệu một cách không phải là hình thức, mà nó được hiểu một cách nôm na, (như điểm trong toán học cũng vậy). Hiện nay, trong toán học hiện đại, tập hợp được nghiên cứu như một nhánh thực sự trong toán học, các tính chất, tiên đề của nó được công nhận thông qua một hệ thống các tiên đề hình thức.

Một tập là một loại cấu trúc mới, dùng để diễn tả các đối tượng khác nhau mà không có trật tự .

Lý thuyết tập cũng giải quyết các thao tác, các quan hệ, các định đề của các tập.

Các tập thì có mặt khắp nơi trong hệ thống phần mềm máy tính

Tất cả những đối tượng của toán học đều có thể định nghĩa thông qua lý thuyết tập

(dùng logic vị từ)

N h ữ n g k h ái n i ệ m , tí n h c h ất c ơ b ản

Đ ịnh n g h ĩa:

Một tập hợp là một sự lựa chọn các đối tượng được định nghĩa, trong đó mỗi một đối tượng được gọi là một thành viên hay là một phần tử của tập đó. Ký hiệu x ∈A

nghĩa là x là một phần tử của tập A. Ký hiệu x ∉ A nghĩa là x không là thành viên của A.

Tập rỗng: ∅ = {} = {x|False} (“null”, “the empty set”) là tập duy nhất không chứa

bất kỳ một phần tử nào.

Biểu di ễ n tập h ợ p

Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào đó. Chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng mà nhờ chúng có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không.

Tập hợp có thể được xác định bằng lời:

A là tập hợp bốn số nguyên dương đầu tiên. B là tập hợp các màu trên quốc kỳ Pháp.

Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng giữa cặp dấu {

}, chẳng hạn:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {đỏ, trắng, xanh}

Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử. Chẳng hạn tập hợp 1000

số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau:

{0, 1, 2, 3,..., 999},

Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê:

{2, 4, 6, 8,... }.

Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau

F = {n2 / n là số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19}

Tập hợp có thể xác định bằng đệ quy. Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau:

Nếu thì

Các tập hợp có thể biểu diễn bằng biểu đồ Venn, tên của nhà toán học người anh John Venn, giới thiệu năm 1881. Trong đó biểu đồ Venn, tập vũ trụ U, chứa tất cả các đối tượng được quan tâm, biểu diễn bằng hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật

này, các hình tròn hay các hình khác thể hiện cho các tập. Trong biểu đồ này, người

ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các tập.

Ví dụ:

Biểu di ễ n tập h ợ p t r o ng m áy t í nh :

Biểu diễn các phần tử bằng một danh sách không có thứ tự  không hiệu quả đối

với các phép toán tập hợp.

Dùng các chuỗi bit để biểu diễn sự tồn tại của một phần tử trong tập hợp.

- Xét tập vũ trụ U có n phần tử. Ví dụ U={a,b,c,d,e}

- Mỗi tập A Ucó thể biểu diễn bằng chuỗi gồm n bit. Ví dụ A={a,d,e} được

biểu diễn bằng 10011.

- Khi n lớn thì sao?

Dùng một danh sách có thứ tự.

Một số tập hợp quan trọng

- Tập N các số tự nhiên là tập {0,1,2,3,…}

- Tập Z là tập các số nguyên {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

- Tập Q là tập các số hữu tỉ : các số dạng a/b, trong đó a∈Z, b là các số nguyên khác không

- Tập R là tập số thực: gồm các số viết dưới dạng số mà phần hữu tỉ hữu hạn

hoặc vô hạn

- Tập C là tập các số phức: gồm các số dạng a+bi, trong đó a,b∈R trong đó i2=-

1

Một số khái niệm quan trọng

*) Các đối tượng là các phần tử của tập hợp có thể lại là một tập hợp

Ví dụ, nếu coi

S={x | x ⊆ {1,2,3}}

Khi đó

S={∅,

{1}, {2}, {3},

{1,2}, {1,3}, {2,3},

{1,2,3}}

Note that 1 ≠ {1} ≠ {{1}} !!!!

*) lực lượng của một tập hợp

|S| (đọc là “lực lượng của S”) chính là số phần tử mà nó có.

Có nghĩa là |∅|=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2,

|{{1,2,3},{4,5}}| =

Nếu |S|∈N, thì S là hữu hạn.

Ngược lại S là tập vô hạn các phần tử.

Quan hệ giữa các tập hợp

Quan hệ bao hàm

Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì tập hợp A được gọi là tập hợp con (:Subset) của tập hợp B, ký hiệu là A B, và tập hợp B bao hàm tập hợp A.

Quan hệ bao hàm: A B

Các tập hợp số

Quan hệ A B còn được gọi là quan hệ bao hàm. Quan hệ bao hàm là một quan hệ

thứ tự trên các tập. Ví dụ:

: Tập hợp số tự nhiên

: Tập hợp số nguyên

: Tập hợp số hữu tỉ

= - : Tập hợp số vô tỉ

: Tập hợp số thực

Ta có

Một tập hợp có n phần tử thì có 2n tập hợp con.

Quan hệ bằng nhau

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của tập A.