Giải bài 34,35,36 ,37,38,39 ,40 trang 56,57 Đại số 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc…

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 34,35,36,37,38 trang 56, bài 39,40 trang 57 Đại số 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

A. Tóm tắt lý thuyết: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình trùng phương:

– Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)

-Giải phương trình trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)

+ Đặt x² = t, t ≥ 0.

+ Giải phương trình at² + bt + c = 0.

+ Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình x² = t.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

B. Hướng dẫn và giải bài tập trang 56,57 SGK Toán 9 tập 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 34 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Giải các phương trình trùng phương:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0;     b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0;

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

Đáp án và hướng dẫn giải bài 34:

a) x⁴ – 5x²+ 4 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: t² – 5t + 4 = 0; t₁ = 1, t₂ = 4

Nên: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -2, x₄ = 2.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 2t² – 3t – 2 = 0; t₁ = 2, t₂ = -1/2 (loại)

Vậy: x₁ = √2; x₂ = -√2

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0.

Đặt x² = t ≥ 0, ta có: 3t² + 10t + 3 = 0; t₁ = -3(loại),

t₂ = -1/3 (loại)

Phương trình vô nghiệm.

Bài 35 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 35:

⇔ x² – 9 + 6 = 3x – 3x²

⇔ 4x² – 3x – 3 = 0; ∆ = 57

Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.

(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)

⇔ 4 – x^{2 –} 3x² + 21x – 30 = 6x – 30 ⇔ 4x² – 15x – 4 = 0

∆ = 225 + 64 = 289, √∆ = 17

Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2

Phương trình tương đương: 4(x + 2) = -x² – x + 2

⇔ 4x + 8 = 2 – x² – x

⇔ x² + 5x + 6 = 0

Giải ra ta được: x₁ = -2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm x = -3.

Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

Đáp án và hướng dẫn giải bài 36:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

=> 3x² – 5x + 1 = 0

hoặc x² – 4 = 0 => x = ±2.

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 + 2x – 1)(2x² + x – 4 – 2x + 1) = 0

⇔ (2x² + 3x – 5)(2x² – x – 3) = 0

=> 2x² + 3x – 5 = 0 hoặc 2x² – x – 3 = 0

X₁ = 1; x₂ = -2,5; x₃ = -1; x₄ = 1,5

Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Giải phương trình trùng phương:

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0;                     b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x²;

c) 0,3×4 + 1,8×2 + 1,5 = 0;              đ) 2×2 + 1 = 1/x² – 4

Đáp án và hướng dẫn giải bài 37:

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 9t² – 10t + 1 = 0.

Vì a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0 nên t₁ = 1, t₂ = 1/9

Suy ra: x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = -1/3 , x₄ = 1/3

b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x² ⇔ 5x⁴ + 3x² – 26 = 0.

Đặt t = x² ≥ 0, ta có: 5t² + 3t -26 = 0

∆ = 9 + 4 . 5 . 26 = 529 = 23²; t₁ = 2, t₂ = -2,6 (loại). Do đó: x₁ = √2, x₂ = -√2

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 ⇔ x⁴ + 6x² + 5 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

t² + 6t + 5 = 0, t₁ = -1 (loại), t₂ = -5 (loại)

Phương trình vô nghiệm,

Chú ý:  Cũng có thể nhận xét rằng vế trái x⁴ + 6x² + 5 ≥ 5, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

Điều kiện x ≠ 0

2x⁴ + 5x² – 1 = 0. Đặt t = x² ≥ 0, ta có:

2t² + 5t – 1 = 0; ∆ = 25 + 8 = 33

Bài 38 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x;

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2);

Đáp án và hướng dẫn giải bài 38:

a) (x – 3)² + (x + 4)² = 23 – 3x  ⇔ x² – 6x + 9 + x² + 8x + 16 = 23 – 3x

⇔ 2x² + 5x + 2 = 0

∆ = 25 – 16 = 9

x₁ = -2, x₂ = -1/2

b) x³ + 2x² – (x – 3)² = (x – 1)(x² – 2)

⇔ x³ + 2x² – x² + 6x – 9 = x³ – x² – 2x + 2 ⇔ 2x² + 8x – 11 = 0

∆’ = 16 + 22 = 38

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

⇔ 5x² – 3x + 2 = 0; ∆ = 9 – 40 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm

⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

⇔ 2x² – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

⇔ 2x² – 15x – 14 = 0; ∆ = 225 + 112 = 337

⇔ 14 = x² – 9 + x + 3

⇔ x² + x – 20 = 0, ∆ = 1 + 4 . 20 = 81

√∆ = 9

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = -5, x₂ = 4.

Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4

Phương trình tương đương với:

2x(x – 4) = x² – x + 8 ⇔ 2x² – 8x – x² + x – 8 = 0

⇔ x² – 7x – 8 = 0

Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên x₁ = -1, x₂ = 8

Vì x₁ = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.

Bài 39 trang 57 SGK Toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a) (3x²  – 7x – 10)[2x² + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0;

b) x³ + 3x²– 2x – 6 = 0;

c) (x²  – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x;

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)².

Đáp án và hướng dẫn giải bài 39:

a) (3x²  – 7x – 10)[2x² + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0

=> hoặc (3x²  – 7x – 10) = 0                  (1)

hoặc  2x² + (1 – √5)x + √5 – 3 = 0  (2)

Giải (1): phương trình a – b + c = 3 + 7 – 10 = 0

nên

Giải (2): phương trình có a + b + c = 2 + (1 –  √5) +  √5 – 3 = 0

nên

b)  x³ + 3x²– 2x – 6 = 0 ⇔ x²(x + 3) – 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x² –  2) = 0

=> hoặc x + 3 = 0

hoặc x² –  2 = 0

Giải ra x₁ = -3,  x₂  = -√2,  x₃  = √2

c) (x²  – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x  ⇔ (0,6x + 1)(x² – x – 1) = 0

=> hoặc 0,6x + 1 = 0        (1)

hoặc x² – x – 1 = 0            (2)

(1) ⇔ 0,6x + 1 = 0

(2): ∆ = (-1)² – 4 . 1 . (-1) = 1 + 4 = 5, √∆ = √5

d) (x² + 2x – 5)² = ( x² – x + 5)² ⇔ (x² + 2x – 5)² – ( x² – x + 5)² = 0

⇔ (x² + 2x – 5 +  x² – x + 5)( x² + 2x – 5 – x² + x – 5) = 0

⇔ (2x² + x)(3x – 10) = 0

⇔ x(2x + 1)(3x – 10) = 0

Hoặc x = 0, x = -1/2 , x = 10/3

Vậy phương trình có 3 nghiệm:

x₁ = 0, x₂ = -1/2 , x₃ = 10/3

Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0;

b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0;

c) x – √x = 5√x + 7;

Hướng dẫn: a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² – 2t  – 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 40:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

3t² – 2t – 1 = 0; t₁ = 1, t₂ = -1/3

Với t₁ = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5

Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

b)    (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

Đặt t = x² – 4x + 2, ta có phương trình t² + t – 6 = 0

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = -3.

– Với t₁ = 2 ta có: x² – 4x + 2 = 2 hay x² – 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.

– Với t₁ = -3, ta có: x² – 4x + 2 = -3 hay x² – 4x + 5 = 0.

Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (-4)² – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4.

c) x – √x = 5√x + 7 ⇔ x – 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0

Ta có: t² – 6t – 7 = 0. Suy ra: t₁ = -1 (loại), t₂ = 7

Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = -5/4 , x₂ = -2/3