Giải bài 31,32,33 ,34,35 trang 70,71 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường phân giác của một…

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 31,32,33 trang 70; Bài 34,35 trang 71 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường phân giác của một góc.

A. Tóm tắt lý thuyết bài: Tính chất ba đường phân giác của một góc

1. Định lí 1 (thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

GT : M ε Oz là tia phân giác của ∠xOy

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

KL: MA = MB

2. Định lý  2 (đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.

GT : M ở miền trong ∆ABC

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

KL: OM là tia phân giác của ∠xOy

3. Nhận xét.

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

B. Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 70,71 Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường phân giác của một góc

Bài 31 trang 70 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Hình vẽ bên cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề :

– Áp một lề của thước vào cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia.

– Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.

-Gọi M là giao điểm của a và b, ta có OM là tia phân giác của góc xOy

Hãy chứng minh tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy.

( gợi ý : Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách từ M đến Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2).

Hướng dẫn giải bài 31:

Theo cách vẽ thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy (cùng bằng khoảng cách 2 lề của chiếc thước

Vì M cách đều Ox, Oy nên theo định lí đảo M thuộc phân giác của ∠xOy
hay OM là phân giác của ∠xOy

Bài 32 trang 70 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài  B₁ và C₁ nằm trên tia phân giác của góc A.

Hướng dẫn giải bài 32:

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC

Kẻ MH  ⊥ AB; MI  ⊥ BC; MK  ⊥ AC

( H ∈ AB, I ∈ BC, K ∈ AC)

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài)

MI = MK (Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài)

Suy ra : MH = MK

=> M thuộc phân giác của góc ∠BAC

Bài 33 trang 70 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho hai đường thẳng xx’, yy’cắt nhau tại O

a) Chứng minh rằng hai tia phân giác Ot, Ot’ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng : Nếu M thuộc đường thẳng  Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’

c) Chứng minh rằng : Nếu M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’ và yy’ bằng bao nhiêu ?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’ và yy’

Hướng dẫn giải bài 33:

a) Vì Ot là phân giác của ∠xOy nên ∠yOt = ∠xOt = 1/2 ∠xOy

Ot’ là phân giác của ∠xOy’ nên ∠xOt’ = ∠ y’Ot’ = 1/2 ∠xOy’

⇒ ∠xOt + ∠xOt’ = 1/2 ∠xOy + 1/2 ∠xOy’

= 1/2 (∠xOy + ∠xOy’)
Mà (∠xOy + ∠ xOy’) = 180º ( 2 góc kề bù)

nên ⇒ ∠xOt + ∠xOt’ = 1/2 (180º)

=  90⁰

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông

b) Nếu M thuộc Ot hoặc Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’

Thật vậy: M ε Ot do Ot là phân giác của ∠xOy
nên M cách đều Ox, Oy

=> M cách đều xx’,yy’

M ε Ot’do Ot’ là phân giác của ∠xOy’
nên M cách đều xx’, yy’

=> M cách đều xx’,yy’

c) M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’

Nếu M nằm trong một góc trong bốn góc ∠xOy, ∠xOy’, ∠x’Oy’, ∠x’Oy  thì M phải thuộc phân giác của góc ấy tức M phải thuộc Ot hoặc Ot’

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’, yy’ bằng 0

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Bài 34 trang 71 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng :

a) BC = AD

b) IA = IC, IB = ID

c) Tia OI là tia phân giác của góc xOy

Hướng dẫn giải bài 34:

a)  ∆AOD và  ∆COB có:

OC =OA (gt)

OB = OD (gt)

góc xOy là góc chung

=>  ∆AOD =  ∆COB (cgc)

=> AD = BC ( 2 cạnh tương ứng)

b) ∆AOD =  ∆COB =>

∠OAD = ∠OCB

=> ∠BAI = ∠DCI
(kề bù với hai góc bằng nhau)

Vì vậy  ∆DIC =  ∆BIA do:

CD = AB ( OD = OB; OC = OA)

∠DCI = ∠ABI ( ∆AOD =  ∆COB)

∠BAI = ∠DCI (chứng minh trên)

=> IC = IA và ID = IB

c) Ta có ∆OAI =  ∆OIC (c.c.c)=>  ∠COI = ∠AOI

=> OI là phân giác của ∠xOy

Bài 35 trang 71 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (hình dưới) và một chiếc thước có chia khoảng. làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?

Hướng dẫn giải bài 35:

+ Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt A; B trên cạnh thứ hai lấy hai điểm C; D sao cho khoảng cách từ C; D đến đỉnh của góc lần lượt bằng khoảng cách từ đỉnh của góc với A, B

+ Xác định giao điểm I của BC và AD; tia vẽ từ đỉnh của góc qua I chính là tia phân giác của góc đó.

+ Vẽ tia Oy và chứng minh Oy là tia phân giác của góc xOy.

——————————

 Giải bài 36,37,38 ,39,40,41 ,42,43 trang 72,73 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường phân giác của tam giác