Giải bài 15,16,17, 18,19,20, 21,22,23, 24,25,26 trang 75,76 Toán 9 tập 2: Góc nội tiếp

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài tập bài 15,16,17,18 trang 75; Bài 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 76 Toán 9 tập 2: Góc nội tiếp. 

A. Tóm tắt lý thuyết góc nội tiếp

1. Định nghĩa 

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó.

Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn.

2. Định lí 

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 90⁰) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

 Giải bài 10,11,12 ,13,14 trang 71,72 SGK Toán 9 tập 2: Liên hệ giữa cung và dây

B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 9 tập 2 bài: Góc nội tiếp

Bài 15 trang 75 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 15:

a) Đúng (theo hệ quả a)

b) Sai, vì trong một đường tròn có thể có các góc nội tiếp bằng nhau nhưng không cùng chắn một cung.

Bài 16 trang 75 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Xem hình 19 ( hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

a) Biết góc ∠MAN = 30⁰, tính ∠PCQ.

b) Nếu ∠PCQ = 136⁰ thì ∠MAN có số đo là bao nhiêu?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 16:

Vận dụng định lí số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn, ta có:
a)∠PBQ = ∠MBN = sđcungMN = 2∠MAN = 2.30⁰ =60⁰

∠PCQ = sđcungPQ = 2∠PBQ = 2.60⁰ =120⁰

b) ∠PBQ = 136⁰ ⇒ ∠MAN = 1/2∠PCQ = 136/4 = 34⁰

Bài 17 trang 75 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Muốn xác định tâm của một đường tròn àm chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 17:

Vận dụng hệ quả b, ta dùng êke ở hình trên. Tâm đường tròn chính là giao điểm của hai cạnh huyền của hai tam giác vuông nội tiếp trong đường tròn.

Bài 18 trang 75 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20. 

Hãy so sánh các góc  ∠PAQ, ∠PBQ, ∠PCQ.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 18:

Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp  ∠PAQ, ∠PBQ, ∠PCQ cùng chắn một cung  PQ , nên suy ra  ∠PAQ = ∠PBQ = ∠PCQ.

Vậy với các vị trí trên thì các “góc sút” đều bằng nhau, không có “góc sút” nào rộng hơn.

Luyện tập góc nội tiếp: Bài 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 75, 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 19 trang 75 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho một đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt  cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 19:

Ta có góc ∠AMB = 90⁰ (Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). ⇒ BM ⊥ SA.

Tương tự, ta có: AN ⊥ SB

Như vậy AN và BN là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tâm. Vì trong một tam giác 3 đường cao đồng qui. Suy ta SH ⊥ AB.

Bài 20 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 20:

Nối B với 3 điểm A, C, D ta có:

∠ABC =  90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

∠ABD =  90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy ∠CBD = ∠ABC + ∠ABD = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

Do đó ba điểm C,B,D thẳng hàng.

Bài 21 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt O tại M và cắt (O’) tại N ( A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 21:

Ta có:
+ góc ∠BMA chắn cung AmB nhỏ thuộc (O)
+ góc ∠BNA chắn cung AnB nhỏ thuộc (O’)
cung AmB = cung AnB (hai cung thuộc hai đường tròn bằng nhau cùng căng bởi dây AB)

⇒ ∠BMA = ∠BNA ⇒ Tam giác MBN cân tại B.

Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ đường qua A cắt (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA² = MB.MC

Đáp án và hướng dẫn giải bài 22:

Ta có CA ⊥ AB ( tính chất của tiếp tuyến)

⇒ ΔABC vuông tại A.

Mặt khác ∠AMB = 90⁰ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên AM là đường cao của ΔABC.

Tóm lại: Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, nên MA² = MB.MC

Bài 23 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B.Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại C và D.

Chứng minh MA. MB = MC. MD

Đáp án và hướng dẫn giải bài 23:

Xét hai trường hợp:

a) M ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác MAB’ và MA’B chúng có:

∠M₁= ∠M₂ ( đối đỉnh)

∠B’= ∠B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  AA’).

Do đó ∆MAB’  ~ ∆MA’B, suy ra:

MA/MA’ =MB’/MB, do đó MA. MB = MB’. MA’

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

∆MAB’  ~ ∆MA’B

M chung   ∠B’= ∠B  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AA’).

Suy ra:     MA/MA’ = MB’/MB, do đó MA. MB = MB’. MA’

Bài 24 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 24:

Chiếc cầu là cung của đường tròn tâm O. Gọi MM’ là đường kidnh của đường tròn thì góc ∠MBM’= 90⁰ vì chắn nửa đường tròn. Tam giác MBM’ có đường cao từ đỉnh góc vuông là BK. Ta có:

(AB/2)² = BK² = MK.M’K =3(2R -3) = 400 trong đó R là bán kính của cung tròn AMB

Từ đó suy ra: R = 409/6  ≈ 68,17m

Bài 25 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 25:

Cách vẽ như sau:

– Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.

– Vẽ nửa đưởng tròn đường kính BC.

– Vẽ dây AB (hoặc dây CA) dài 2,5cm.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài ( ∠A = 90⁰, BC = 4cm, AB = 2,5cm).

Bài 26 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 26:

a) Chứng minh SM = SC:
Theo giả thiết ta có cung MA = cung MB (1)
mà MN//BX Do đó: cung MB = cung NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: cung MA = cung NC

⇒ ∠ACM = ∠CMN
Vậy ΔSMC là tam giác cân tại S. Suy ra SM = SC (đpcm)
b) Chứng minh SN = SA:
Theo chứng minh ở câu a) ta có: Cung Ma = cung NC (1)
Ta có ∠ANM là góc nội tiếp chắn cung MA và góc ∠NAC là góc nội tiếp chắn cung NC.
Từ (1) và (2), suy ra: ∠ANM = ∠NAC
Vậy ΔSAN cân tại S. Suy ra SN = SA (đpcm)