Giải bài 1.5, 1.6, 1.7 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số sau:

a) (y = {{mx - 4} over {x - m}})đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) (y = {{ - mx - 5m + 4} over {x + m}}) nghịch biến trên từng khoảng xác định;

c) (y =  - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4) nghịch biến trên  ;

d) (y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7) đồng biến trên R.

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định: D = R{m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng (( - infty ;m),(m; + infty ))khi và chỉ khi:

(eqalign{
& y' = {{ - {m^2} + 4} over {{{(x - m)}^2}}} > 0 Leftrightarrow - {m^2} + 4 > 0 cr 
& Leftrightarrow {m^2} < 4 Leftrightarrow - 2 < m < 2 cr} )

b) Tập xác định: D = R{m}

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  khi và chỉ khi:

(y' = {{ - {m^2} + 5m - 4} over {{{(x + m)}^2}}} < 0 Leftrightarrow  - {m^2} + 5m-4 < 0)

(left[ matrix{
m < 1 hfill cr 
m > 4 hfill cr} ight.)

c) Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

(eqalign{
& y' = - 3{x^2} + 2mx - 3 le 0 Leftrightarrow ' = {m^2} - 9 le 0 Leftrightarrow {m^2} le 9 cr 
& Leftrightarrow - 3 le m le 3 cr} )

d) Tập xác định: D = R

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

(eqalign{
& y' = 3{x^2} - 4mx + 12 ge 0 Leftrightarrow ' = 4{m^2} - 36 le 0 cr 
& Leftrightarrow {m^2} le 9 Leftrightarrow - 3 le m le 3 cr} )

Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

a) (3(c{ m{os x  -  1)  + }}{ m{2sin x  + 6x  =  0}})

b)  (4x + c{ m{os x  -  2sin x  -  2  =  0}})

c) ( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0) 

d) ({x^5} + {x^3} - 7 = 0)

Hướng dẫn làm bài

a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈  R

Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0,  x ∈  R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm (x = pi )

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

b) Đặt (y = 4x + cos x - 2sin x - 2)

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; (y(pi ) = 4pi  - 3 > 0) .

Hàm số liên tục trên  ({ m{[}}0;pi { m{]}}) và y’(0) < 0 nên tồn tại ({x_0} in (0;pi )) sao cho (y({x_0}) = 0) .

Suy ra phương trình có một nghiệm ({x_0}) .

c) Đặt y =  – x³ + x² – 3x + 2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y’ = – x² + 2x – 3 < 0, (y(pi ) = 4pi  - 3 > 0), x ∈ R.

Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.

Mặt khác  y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0

                 y(1) = -1  +1 – 3 + 2 = -1 < 0

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại ({x_0} in { m{[}} - 1;1]) sao cho (y({x_0}) = 0) .

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

d) Đặt  y = x⁵ + x³ – 7

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0

Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại ({x_0} in (0;2)) sao cho (y({x_0}) = 0)

Mặt khác (y' = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) ge 0,forall x in R)

=> Hàm số đồng biến trên (( - infty ; + infty )).

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm. 

Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh phương trình ({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0) có nghiệm duy nhất

(Đề thi đại học năm 2004)

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét

                        x⁵ – x² – 2x – 1 = 0 ⇔  x⁵ = (x + 1)²  0   => x ≥ 0

=>  (x + 1)²  1  => x⁵  1   => x  1

Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc ({ m{[}}1; + infty { m{]}}) .

Xét hàm số  (f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1)  ta thấy f(x) liên tục trên R

Mặt khác, (f(1) =  - 3 < 0,f(2) = 23 > 0)

Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại ({x_0} in (1;2)) sao cho (f({x_0}) = 0)

Ta có: f’(x) = 5x⁴ – 2x – 2 = (2x⁴ – 2x) + (2x⁴ – 2) + x⁴

                     = 2x(x³ – 1) + 2(x⁴ – 1) + x⁴ > 0 , (forall x ge 1)

Suy ra f(x) đồng biến trên ({ m{[}}1; + infty { m{]}})

Zaidap.com