Giải bài 1.17, 1.18, 1.19 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số: (y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 over 3})x + 5)  có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Hướng dẫn làm bài:

 (y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 over 3})x + 5)

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình  y’ = 0  có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có: 

Xét  y’ = 0, ta có: (y' = 3{x^2} - 2mx + (m - {2 over 3}))

                       ∆’ > 0  khi m < 1 hoặc m > 2                    (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

(y'(1) = 3 - 2m + m - {2 over 3} = 0 <  =  > m = {7 over 3}) , thỏa mãn điều kiện  (*)

Với (m = {7 over 3}) thì hàm số đã cho trở thành:

(y = {x^3} - {7 over 3}{x^2} + {5 over 3}x + 5)           

Ta có:   

(eqalign{
& y' = 3{x^2} - {{14} over 3}x + {5 over 3} cr 
& y' = 6x - {{14} over 3} cr} )        

Vì (y'(1) = 6 - {{14} over 3} > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và  ({y_{CT}} = {y_{left( 1 ight)}} = {{16} over 3}.)

Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số: 

(f(x) = left{ matrix{
- 2x,forall x ge 0 hfill cr 
sin {x over 2},forall x < 0 hfill cr} ight.)                                    

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số:

(f(x) = left{ matrix{
- 2x,forall x ge 0 hfill cr 
sin {x over 2},forall x < 0 hfill cr} ight.)         

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{f(x) - f(0)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{ - 2x} over x} = - 2 cr 
& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{f(x) - f(0)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{ - 2x} over x} = - 2 cr} )            

Mặt khác, với  x < 0  thì (y' = {1 over 2}cos {x over 2}) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.

Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.

(y = {{{x^2} + 2mx - 3} over {x - m}}) 

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định (D=mathbb Rackslash { m{{ }}m{ m{} }})

Ta có: 

(eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx - 3} over {x - m}} cr 
& y' = {{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)} over {{{(x - m)}^2}}} cr 
& = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} over {{{(x - m)}^2}}} cr} )             

Xét  g(x) = x² – 2mx – 2m² + 3

        ∆’_g = m² + 2m² – 3 = 3(m² – 1) ;

     ∆’_g ≤ 0  khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’  > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x  + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Zaidap.com