Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Bài 01)

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 

 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng. d ⊥ (P) → d ⊥ các đường thẳng trong (P)

Điều kiện cần và đủ ( Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng): Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P)

Tính chất

1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC và SBC là các tam giác cân tại A, S. Gọi M là trung điểm của BC 

1. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAM)
2. Gọi SI là đường cao của Δ SAM. Chứng minh rằng SI ⊥ (ABC)

Hướng dẫn giải chi tiết

Chứng minh rằng BC ⊥ (SAM)

• Tam giác SBC cân tại A. SM là đường trung tuyến, AM là đường cao → SM ⊥ BC (1)
• Tam giác ABC cân tại A. AM là đường trung tuyến, AM là đường cao → AM ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) → BC ⊥ (SAM) ( đpcm)

Chứng minh rằng SI ⊥ (ABC)

• SI là đương cao của tam giác SAM → SI ⊥ AM
• Theo trước ta có BC ⊥ (SAM)     → SI ⊥ BC ( đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng )

AM và BC cắt nhau và nằm trong mặt phẳng )ABC) → SI ⊥ (ABC)

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có  đáy ABCD là hình chữ nhật, gọi O = AC ∩ BD, SA = SC, SB = SD

1. Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD)
2. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh CD ⊥ (SOM)
3. Kẻ OH vuông góc với SM. Chứng minh OH ⊥ (SCD)

Hướng dẫn giải toán

Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD)

• SA = SC  → Tam giác SAC cân tại A. SO là đường trung tuyến, SO là đường cao → SO ⊥ AC (1)
• SB = SD → Tam giác SBD cân tại S. SO là đường trung tuyến, SO là đường cao → SO ⊥ BD (2)

Vì AC, BD cắt  nhau  và nằm trong mặt phẳng (ABCD). Từ (1) và (2) → SO ⊥ (ABCD)

Chứng minh CD ⊥ (SOM)

M là trung điểm CD. OM là đường trung bình của tam giác DBC.→ OM ⊥ CD (*)

Theo câu 1 đã chứng minh SO ⊥ (ABCD) → SO vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABCD). → SO ⊥ CD (**)

Từ  (*) và (**) CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau. CD ⊥ (SMO)

Chứng minh OH ⊥ (SCD)

• Kẻ OH ⊥ SM
• Theo câu CD ⊥ (SOM)  → OH ⊥ CD

SM và CD cắt nhau và nằm trong hai mặt phẳng (SCD) → OH ⊥ (SCD)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC) . Kẻ AH ⊥ SB, AK  ⊥ SC.

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. Chứng minh SHK là tam giác vuông. Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh AC ⊥ AD

Hướng dẫn giải toán

Chứng minh các mặt bên của tam giác là các tam giác vuông

• Tam giác SAC: Vì SA ⊥ (ABC) ( SA vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABC)) → SA ⊥ AC. Tam giác SAC vuông tại A
• Tam giác SAB: Vì SA ⊥ (ABC) ( SA vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABC)) → SA ⊥ AB. Tam giác SAB vuông tại A
• Tam giác SBC: 

            Vì SA ⊥ (ABC) ( SA vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng (ABC)) → SA ⊥ BC (1)

            Tam giác ABC vuông tại B. Ta có AB ⊥ BC(2)

            Từ (1) và (2) → BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.  Tam giác SBC vuông tại B

Chứng minh tam giác SHK vuông 

• Ta đã có BC ⊥ (SAB), AH nằm trong mặt phẳng (SAB) → AH ⊥ BC
• Theo giả thiết kẻ AH ⊥ SB
• AH vuông góc với 2 đường cắt nhau BC, SB. AH ⊥ (SBC) ( có HK nằm trong mặt phẳng (SBC))→ AH ⊥ HK
• Vậy tam giác AHK vuông tại H → đpcm

Chứng minh AC ⊥ AD

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC. đáy là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm BC.

1.  Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng ( SAM)
2. Kẻ AH vuông góc SM. Chứng minh AH vuông góc ( SBC)

Bài 2: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

1.  Chứng minh BC _┴  AD
2. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có DA  ⊥ (DBC) và tam giác ABC vuông tại A. Kẻ DI ⊥ BC.

1. Chứng minh BC ⊥ (AID).
2. Kẻ DH ⊥ AI  Chứng minh DH ⊥ (ABC).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD.

1. Chứng minh SO⊥ (ABCD) và AC ⊥ (SBD)
2. Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ ⊥ (SBD).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh:

1. BC ⊥(SAI).
2. SI ⊥ (ABC)