Đề 3 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a , AC = 4a , BC = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.

ĐỀ 3 (45 phút)

Câu 1 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a , AC = 4a , BC = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.

Hướng dẫn làm bài

Tam giác ABC có AB² = AC² + BC² nên nó vuông tại C. Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo đường tròn đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó  OI = 2a.

Suy ra (OB = sqrt {{{({{5a} over 2})}^2} + 4{a^2}}  = {{sqrt {41} } over 2}a)

Vậy ({V_{(S)}} = {4 over 3}pi {({{asqrt {41} } over 2})^3} = {{41sqrt {41} } over 6}pi {a^3})

Câu 2 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O) , CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng (alpha (0 < alpha  le {90^0})). Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định (alpha ) để tỉ số đó là lớn nhất.

Hướng dẫn làm bài

Thể tích khối trụ (H) là ({V_{(H)}} = pi {R^2}h) , thể tích khối tứ diện ABCD là:

({V_{ABCD}} = {1 over 6}AB.CD.sin alpha .h = {2 over 3}{R^2}hsin alpha )

Suy ra: ({{{V_{ABCD}}} over {{V_{(H)}}}} = {{2sin alpha } over {3pi }} le {2 over {3pi }})

Tỉ số đó là lớn nhất bằng  ({2 over {3pi }}) khi (alpha  = {90^0})

Sachbaitap.com