Đặc tính động học của hệ thống tự động

Đặc tính thời gian của hệ thống

Xét hệ thống có hàm truyền:

Biến đổi Laplace của hàm quá độ là:

Tùy theo đặc điểm của hệ thống mà đặc tính thời gian của hệ thống có thể có các dạng khác nhau. Tuy vậy chúng ta có thể rút ra một số kết luận quan trọng sau đây:

- Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng thì hàm trọng lượng suy giảm về 0, hàm quá độ có giá trị xác lập khác 0.

- Nếu G(s) có khâu tích phân lý tưởng α_n = 0) thì hàm trọng lượng có giá trị xác lập khác 0, hàm quá độ tăng đến vô cùng.

- Nếu G(s) có khâu vi phân lý tưởng ( m b = 0 ) thì hàm quá độ suy giảm về 0.

- Nếu G(s) là hệ thống hợp thức ( n m = ) thì h(0)=0.

- Nếu G(s) là hệ thống hợp thức chặt ( n m < ) thì g(0)=0.

- Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng và có n cực phân biệt, H(s) có thể phân tích dưới dạng:

Biến đổi Laplace ngược biểu thức (3.71) ta được hàm quá độ của hệ thống là:

Do đó hàm quá độ là tổ hợp tuyến tính của các hàm mũ cơ số tự nhiên. Nếu tất cả các cực pi đều là cực thực thì hàm quá độ không có dao động; ngược lại nếu có ít nhất một cặp cực phức thì hàm quá độ có dao động.

Trên đây vừa trình bày một vài nhận xét về đặc tính thời gian của hệ thống tự động. Thông qua đặc tính thời gian chúng ta có thể biết được hệ thống có khâu tích phân, vi phân lý tưởng hay không? Hệ thống chỉ gồm toàn cực thực hay có cực phức? …

Những nhận xét này giúp chúng ta có được hình dung ban đầu về những đặc điểm cơ bản nhất của hệ thống, từ đó chúng ta có thể chọn được phương pháp phân tích, thiết kế hệ thống phù hợp.

Đặc tính tần số của hệ thống

Xét hệ thống tự động có hàm truyền ) (s G . Giả sử ) (s G có thể phân tích thành tích của các hàm truyền cơ bản như sau:

Đặc tính tần số của hệ thống là:

Biên độ:

Biểu thức cho thấy biểu đồ Bode biên độ của hệ thống bằng tổng các biểu đồ Bode biên độ của các khâu cơ bản thành phần.

Pha:

Biểu thức chứng tỏ biểu đồ Bode pha của hệ thống bằng tổng các biểu đồ Bode pha của các khâu cơ bản thành phần.

Từ hai nhận xét trên ta thấy rằng để vẽ được biểu đồ Bode của hệ thống, ta vẽ biểu đồ Bode của các khâu thành phần, sau đó cộng đồ thị lại. Dựa trên nguyên tắc cộng đồ thị, ta có phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống bằng các đường tiệm cận như sau:

Phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ bằng các đường tiệm cận

Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng:

Bước 1: Xác định tất cả các tần số gãy , và sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

Bước 2: Nếu tất cả các tần số thì biểu đồ Bode gần đúng phải qua điểm A có tọa độ:

Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc:

* (- 20 dB/dec × α) nếu G(s) có a khâu tích phân lý tưởng

* (+ 20 dB/dec × α) nếu G(s) có a khâu vi phân lý tưởng

Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp

Bước 4: Tại tần số gãy , độ dốc của đường tiệm cận

được cộng thêm:

* (- 20 dB/dec × ß ) nếu là tần số gãy của khâu quán tính bậc một.

* (+ 20 dB/dec × ß ) nếu là tần số gãy của khâu vi phân bậc một.

* (-40 dB/dec × ß ) nếu là tần số gãy của khâu dao động bậc hai.

* (+40 dB/dec × ß ) nếu là tần số gãy của khâu vi phân bậc hai, .

(β là số nghiệm bội tại )

Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp.

Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng.

Ví dụ :Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền:

Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống.

Giải. Các tần số gãy:

Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ:

Biểu đồ Bode biên độ gần đúng có dạng như hình 3.16. Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 10³rad/sec.

Biểu đồ Bode biên độ của hệ thống

Ví dụ :. Hãy xác định hàm truyền của hệ thống, biết rằng biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có dạng như hình 3.17.

Biểu đồ Bode biên độ của hệ thống ở ví dụ trên

Giải: Hệ thống có bốn tần số gãy . Dựa vào sự thay đổi độ dốc của biểu đồ Bode, ta thấy hàm truyền của hệ thống phải có dạng:

Vấn đề còn lại là xác định thông số của hệ thống. Theo hình vẽ:

- Độ dốc đoạn BC là –20dB/dec, mà từ điểm B đến điểm C biên độ của biểu đồ Bode giảm 40dB (từ 34dB giảm xuống –6dB), do đó từ B đến C tần số phải thay đổi là 2 decade. Suy ra:

- Độ dốc đoạn DE là +40dB/dec, mà từ điểm D đến điểm E biên độ của biểu đồ Bode tăng 60dB (từ –6dB tăng lên +54dB), do đó từ D đến E tần số phải thay đổi là 1.5 decade. Suy ra:

Do đó hàm truyền của hệ thống là: