Công thức hình thang tính gần đúng tích phân xác định

Xét tích phân xác định của một hàm số f(x) trong khoảng [a,b]

b

I = ∫ f(x)dx (5.1)

a

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính một cách đơn giản thông qua công thức Newton-Leibniz:

(5.2)

Tuy nhiên trong thực tế thì chúng ta thường gặp trường hợp hàm f(x) không có nguyên hàm hoặc nguyên hàm quá phức tạp không thể xác định được. Trong những trường hợp này người ta phải tính gần đúng (5.1). Có nhiều cách để tính gần đúng tích phân, ví dụ có thể dùng ngay định nghĩa của tích phân

Tuy nhiên tổng Darboux hội tụ rất chậm, do đó để đạt được độ chính xác cao đòi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn. Do đó trong thực tế người ta hầu như không dùng (5.3) để tính xấp xỉ tích phân.

Sau đây là một số phương pháp tính gần đúng tích phân hay được dùng. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là chia nhỏ khoảng [a,b] cần lấy tích phân, sau đó trên mỗi khoảng nhỏ này ta xấp xỉ hàm số bằng một đa thức. Với các đa thức ta có thể dùng nguyên hàm của chúng để tính tích phân, sau đó ta cộng các tích phân thành phần để được xấp xỉ của tích phân toàn thể.

Giả sử chúng ta biết giá trị của hàm y=f(x) tại các mốc cách đều xi trên đoạn [a,b]. Hãy lập công thức tính tích phân hàm f(x) trên [a,b] qua các giá trị tại mốc.

Chia [a,b] thành n phần bằng nhau. Khí đó ta có:

h= (b-a)/n; x₀=a; x_n=b; x_i= a+ih; y_i= f(x_i); (3.9)

Công thức hình thang dựa trên ý tưởng sau.Trên mỗi đoạn [x_i, x_i+1] ta thay diện tích hình thang cong bởi diện tích hình thang tương ứng. Điều đó có nghĩa là:

Thực chất của công thức (2.11) là thay hàm f(x) trên đoạn Δxi bởi công thức nội suy bậc nhất của nó trên đoạn này. Với i=0 ta có:

Ví dụ: Tính ∫01e−x2dx size 12{ Int rSub {0} rSup {1} {e rSup { size 8{ - x rSup { size 6{2} } } } ` ital "dx"} } {} . Ta lập bảng giá trị của hàm y=e−x2 size 12{y`=`e rSup { size 8{ - x rSup { size 6{2} } } } } {}

Hãy tính gần đúng tích phân

1

I = ∫ (1/(1+x2))dx

0

Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là π/4. Như vậy I ≈ 0.78539816

Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả.

Chia đoạn [0,1] thành n = 10, đoạn con bằng nhau, tức là h = 0.1; ta tính ra bảng sau:

Thuật toán được thực hiện trong bài trình có khác chút ít so với thuật toán đã trình bày ở trên. Xuất phát từ n=1, h=b-a, ta sẽ tăng n lên gấp đôi tại mỗi bước tính toán. Quá trình tính toán sẽ dừng lại nếu sự khác biệt của tích phân xấp xỉ ở bước hiện tại so với bước trước đó nhỏ hơn một số epsilon cho trước. Ta sẽ phân tổng tích phân thành 3 tổng s0,s1 và s2. Tổng s0 = (f(a)+f(b))/2; mỗi lần tăng n lên gấp đôi thì ta chỉ cần tính lại tổng s2 ở các vị trí 1,3,5,...,n-1. Tổng s1 là tổng của các giá trị hàm tại các điểm không phải là đầu mút. Sau khi tính lại s2, ta tính lại s1 bằng phép gán

s1=s1+s2

Và tổng xấp xỉ của tích phân là

In = h(s0+s1)