Câu 87 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

Cho hình bình hành ABCD có(widehat A = alpha  > {90^0}). Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều ADF, ABE.

a. Tính (widehat {EAF})

b. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

Giải:                                                                     

a. Vì (eqalign{  & widehat {BAD} + widehat {BAE} + widehat {EAF} + widehat {FAD} = {360^0}  cr  &  Rightarrow widehat {EAF} = {360^0} - left( {widehat {BAD} + widehat {BAE} + widehat {FAD}} ight) cr} )

mà (widehat {BAD} = alpha ) (gt)

(widehat {BAE} = {60^0}) (∆ BAE đều)

(widehat {FAD} = {60^0}) (∆ FAD đều)

nên (widehat {EAF} = {360^0} - left( {alpha  + {{60}^0} + {{60}^0}} ight) = {240^0} - alpha )

b. Ta có: (widehat {ADC} + widehat {BAD} = {180^0}) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

(eqalign{  &  Rightarrow widehat {ADC} = {180^0} - widehat {BAD} = {180^0} - alpha   cr  & widehat {CDF} = widehat {ADC} + widehat {ADF} = {180^0} - alpha  + {60^0} = {240^0} - alpha  cr} )

Suy ra: (widehat {CDF} = widehat {EAF})

Xét ∆ AEF và ∆ DCF:

AF = DF (vì ∆ ADF đều)

AE = DC (vì cùng bằng AB)

(widehat {CDF} = widehat {EAF}) (chứng minh trên)

Do đó ∆ AEF = ∆ DCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1)

(widehat {ADC} = widehat {ABC}) (tính chất hình bình hành)

(widehat {CBE} = widehat {ABC} + {60^0} = widehat {ADC} + {60^0} = {180^0} - alpha  + {60^0} = {240^0} - alpha )

Xét ∆ BCE và ∆ DCF:

BE = CD (vì cùng bằng AB)

(widehat {CBE} = widehat {CDF} = {240^0} - alpha )

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó: ∆ BCE = ∆ DFC (c.g.c) ⇒ CE = CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra : EF = CF = CE. Vậy ∆ ECF đều.

Sachbaitap.com