Câu 87 trang 26 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2: Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của...

a) Cho hai phân số ({1 over n}) và ({1 over {n + 1}}left( {n in Z,n > 0} ight)). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.

b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:

({ m{A}} = {1 over 2}.{1 over 3} + {1 over 3}.{1 over 4} + {1 over 4}.{1 over 5} + {1 over 5}.{1 over 6} + {1 over 6}.{1 over 7} + {1 over 7}.{1 over 8} + {1 over 8}.{1 over 9}) 

(B = {1 over {30}} + {1 over {42}} + {1 over {56}} + {1 over {72}} + {1 over {90}} + {1 over {110}} + {1 over {132}}) 

Giải

a) ({ m{}}{1 over n}.{1 over {n + 1}} = {1 over {n(n + 1)}})      (1)    (n ∈ Z, n ≠ 0)

({1 over n} – {1 over {n + 1}} = {1 over n} + {{ – 1} over {n + 1}} )

(= {{n + 1} over {n(n + 1)}} + {{ – n} over {n(n + 1)}} = {{n + 1 – n} over {n(n + 1)}} )

(= {1 over {n(n + 1)}})                    (2)

Từ (1) và (2) ta có: ({1 over n}.{1 over {n + 1}} = {1 over n} – {1 over {n + 1}}left( {n in Z,n > 0} ight))

b) Áp dụng kết quả câu a ta có:

({ m{A}} = {1 over 2}.{1 over 3} + {1 over 3}.{1 over 4} + {1 over 4}.{1 over 5} + {1 over 5}.{1 over 6} + {1 over 6}.{1 over 7} + {1 over 7}.{1 over 8} + {1 over 8}.{1 over 9}) 

(eqalign{
& = {1 over 2} – {1 over 3} + {1 over 3} – {1 over 4} + {1 over 4} – {1 over 5} + {1 over 5} – {1 over 6} + {1 over 6} – {1 over 7} + {1 over 7} – {1 over 8} + {1 over 8} – {1 over 9} cr
& = {1 over 2} – {1 over {9}} = {{9} over {18}} + {{ – 2} over {18}} = {7 over {18}} cr} )

(B = {1 over {30}} + {1 over {42}} + {1 over {56}} + {1 over {72}} + {1 over {90}} + {1 over {110}} + {1 over {132}})

(eqalign{
& = {1 over 5}.{1 over 6} + {1 over 6}.{1 over 7} + {1 over 7}.{1 over 8} + {1 over 8}.{1 over 9} + {1 over 9}.{1 over {10}} + {1 over {10}}.{1 over {11}} + {1 over {11}}.{1 over {12}} cr
& = {1 over 5} – {1 over 6} + {1 over 6} – {1 over 7} + {1 over 7} – {1 over 8} + {1 over 8} – {1 over 9} + {1 over 9} – {1 over {10}} + {1 over {10}} – {1 over {11}} + {1 over {11}} – {1 over {12}} cr
& = {1 over 5} – {1 over {12}} = {{12} over {60}} + {{ – 5} over {60}} = {7 over {60}} cr} )