Câu 8 trang 147 SGK Giải tích 12

Câu 8 trang 147 SGK Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) (f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1) trên đoạn (left[ { - 2,{5 over 2}} ight])

b) ( f(x) = x^2lnx) trên đoạn (left[ {1,e} ight])

c) (f(x) = xe^{-x}) trên nửa khoảng ([0, +∞))

d) (f(x) = 2sinx + sin2x) trên đoạn (left[ {0,{{3pi } over 2}} ight])

Trả lời:

a) (f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12)

(f’(x) = 0 ⇔ x =-1) hoặc (x=2)

So sánh các giá trị: 

(f(-2) = -3); ( f(-1) = 8);

(f(2) = -19), (f({5 over 2}) = {{ - 33} over 2})

Suy ra:

(eqalign{
& mathop {max }limits_{x in left[ { - 2,{5 over 2}} ight]} f(x) = f( - 1) = 8 cr
& mathop {min}limits_{x in left[ { - 2,{5 over 2}} ight]} f(x) = f(2) = - 19 cr} )

b) (f(x) = x^2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]) nên (f(x)) đồng biến.

Do đó:

(eqalign{
& mathop {max }limits_{x in left[ {1,e} ight]} f(x) = f(e) = {e^2} cr
& mathop {min}limits_{x in left[ {1,e} ight]} f(x) = f(1) = 0 cr} )

 c) (f(x)= xe^{-x}⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}) nên:

(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)) và (f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞))

nên:

 (mathop {max }limits_{x in { m{[}}0, + infty )} f(x) = f(1) = {1 over e})

Ngoài ra (f(x)= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ (0, +∞)) và (f(0) = 0) suy ra

 (mathop {min}limits_{x in { m{[}}0, + infty )} f(x) = f(0) = 0)

d) (f(x) = 2sinx + sin2x  ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x)

(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π)

 ⇔ (x in left{ { - pi  + k2pi ;{pi  over 3} + {{k2pi } over 3}} ight})

Trong khoảng (left[ {0,{{3pi } over 2}} ight]) , phương trình (f’(x) = 0) chỉ có hai nghiệm là ({x_1} = {pi  over 3};{x_2} = pi )

So sánh bốn giá trị : (f(0) = 0); (f({pi  over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2};f(pi ) = 0;f({{3pi } over 2}) =  - 2)

Suy ra:

(eqalign{
& mathop {max }limits_{x in left[ {0,{{3pi } over 2}} ight]} f(x) = f({pi over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2} cr
& mathop {min}limits_{x in left[ {0,{{3pi } over 2}} ight]} f(x) = f({{3pi } over 2}) = - 2 cr} )

soanbailop6.com