Câu 7 trang 146 SGK Giải tích 12

Câu 7 trang 146 SGK Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

Cho hàm số (y = {2 over {2 - x}})

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.

Trả lời:

a) _ Tập xác định: (-∞, 2) ∪(2, +∞)

_ Sự biến thiên: (y' = {2 over {{{(2 - x)}^2}}} > 0,forall x in ( - infty ,2) cup (2, + infty ))

Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

_ Hàm số không có cực trị

_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

 (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {2 over {2 - x}} = 0;mathop {lim }limits_{x o  - infty } y = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {2 over {2 - x}} = 0)

Nên y = 0 là tiệm cận ngang.

_ Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

 (mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} ({2 over {2 - x}}) =  - infty ;mathop {lim }limits_{x o {2^ - }}  = mathop {lim }limits_{x o {2^ - }} ({2 over {2 - x}}) =  + infty )

Nên x = 2 là tiệm cận đứng.

_ Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, không cắt trục hoành.

b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm:

({2 over {2 - x}} = {x^2} + 1 Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 Leftrightarrow x in left{ {0,1} ight})

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M₁ (0, 1), M₂(1, 2)

Tiếp tuyến với đồ thị (C): (y = {2 over {2 - x}}) tại điểm M₁ có phương trình là: (y = {1 over 2}x + 1)

Tiếp tuyến  tại điểm M₂ có phương trình y = 2(x – 1) + 2 = 2x

c) Trong khoảng (0, 1) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :

 (V = pi int_0^1 {({2 over {2 - x}}} {)^2} = 2pi )